【2020创新设计一轮复习数学】第八章立体几何中的翻折及动点的轨迹问题.pdf

补上一课 立体几何中的翻折及动点的轨迹问题 知 识 拓 展 1.翻折问题是立体几何的一类典型问题，是考查实践能力与创新能力的好素材 . 解答翻折问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形， 并弄清折叠前后 哪些发生了变化，哪些没有发生变化 .解题时我们要依据这些变化的与未变化的 量来分析问题和解决问题 .而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆向过程， 一般地，涉及多面体表面的距离问题不妨将它展开成平面图形试一试 . 2.在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探 求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化 .对于较为 复杂的轨迹， 常常要分段考虑， 注意特定情况下的动点的位置， 然后对任意情形 加以分析判定，也可转化为平面问题 .对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯 粹性与完备性 . 3.立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、 角的最值或面积的最值的问 题 .其一般方法有： (1)几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它 的值； (2)代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函 数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等， 求出最值 . 题 型 突 破 题型一 翻折问题 【例1】 (2019 宁波模拟· )如图，四边形 ABCD 为梯形， AB ∥CD ，∠C＝60°，点 1 E 在线段 CD 上，满足 BE⊥CD ，且 CE＝AB ＝ CD＝2，现将△ ADE 沿 AE 翻折 4 到△AME 位置，使得 MC ＝2 10. (1)证明： AE⊥MB ； (2)求直线 CM 与平面 AME 所成角的正弦值 . 解 (1)法一 在梯形 ABCD 中，连接 BD 交 AE 于点 N， 由条件易得 BD ＝4 3， 2 2 2 ∴BC ＋BD ＝CD ，故 BC⊥BD. 又 BC∥AE ，∴AE ⊥BD ， 从而 AE ⊥BN，AE ⊥MN ，且 BN ∩MN ＝N， ∴AE⊥平面 MNB ， 又 MB? 平面 MNB ，∴AE ⊥MB. 法二 由 ME ＝DE ＝6，CE＝2，MC ＝2 10， 2 2 2 得 ME ＋CE ＝MC ，故 CE⊥ME. 又 CE⊥BE，且 ME ∩BE＝E， ∴CE⊥平面 BEM. ∵MB? 平面 BEM ，∴CE⊥MB ， 又 AB ∥CE，∴AB ⊥MB. 易得 AM ＝AD ＝2 7， 则在 Rt△ABM 中，MB ＝2 6， 2 2 2 又 BE＝2 3，∴ ME ＝MB ＋BE ，故 BE⊥MB. 又 AB ∩BE＝B，∴MB ⊥平面 ABE ， 又 AE? 平面 ABE ，∴AE ⊥MB. (2)法一 设直线 MC 与平面 AME 所成角为 θ， h 则 sin θ＝ ，其中 h 为点 C 到平面 AME 的距离 . MC ∵AE ∥BC， ∴点 C 到平面