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例7-5试证明，平行流动的速度环量等于0。 解: 流体以等速度 水平方向流动，取如图(a)所示的封闭周线。计算沿周线的环量为： 再取如图(b)所示的封闭周线。计算沿周线的环量为： 3.纯环流 设有一半径为 、沿z轴方向为无限长的圆柱体，围绕其中心作旋转运动，旋转角速度为 。柱体周围流体将被带动跟着作旋转运动，如图所示。 试验与分析都证明，在诱导的流场中，流速 的大小与半径r成反比，称为纯环流流动。 任意点 处的速度可以写成 其中，K为常数。当 ，即在圆柱表面上， ，由此可得 或 。任意点M的速度u可分成两个分速度 （7-35） 检验流场的连续性：将环流速度分量带入连续方程 故除原点外，纯环流符合连续性条件。 纯环流的速度环量，在流场中任取封闭曲线如图所示，流速沿该曲线的积分称为沿该曲线的速度环量用 表示： （7-36） 这里,除原点外，纯环流符合连续性条件，包围原点的任意曲线的环量应等与常数，其值为 于是式（7-35）可改写为 由于纯环流除原点外都是连续的，应有流函数存在，则 （7-37） 积分得 （7-38） 由式（7-37）可求得旋转角度 因此，除原点外，纯环流为势流，又称为势涡。其速度势为 （7-39） 积分得速度势 可见纯环流的流线簇是以原点为中心的同心圆簇，其等势线是以原点为起点的辐射线。对比点源的流函数和速度势，可以看出，只要流函数与速度势互换一下，并把Q换成 ，即得描述纯环流的流函数和速度势（单纯环流的流函数多一负号）。图示为纯环流的流网。 点源 纯环流 速度势 速度势 流函数 流函数 §7-3 势流的叠加原理 由于势流的速度势满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是线性的，故几个势流的速度势叠加后仍满足拉普拉斯方程。 设有两个势流，其速度势分别为 和 ，则它们都是调和函数，满足调和方程： （7-40） 此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩液体平面势流。其速度势 （7-41） 它也满足调和和方程： 即速度势叠加结果，代表一新的复合流动。其速度分量 （7-42） （7-43） 同理可证明，新的复合流动的流函数 （7-44） 亦即等于两个原始流动的流函数的代数和。 由此得出一重要结论：叠加两个或多个势流组成一新的复合势流，只需将各原始势流的速度势或流函数简单的代数相加，其速度将是各原始势流速度的矢量和。此即势流的叠加原理。 几种复合流动的例 一、源环流和汇环流 1.源环流 源环流为点源与纯环流叠加的结果。令 和 ， 和 分别为点源及纯环流的速度势和流函数。其复合流动源环流的速度势和流函数将分别为 显然，等势线方程为 （7-45） 或 （7-46） 即等势线和流线分别是一组正交的对数螺旋线，亦即螺旋流。如图所示。水泵内导轮中流动属于源环流。 2.汇环流 汇环流为点汇与纯环流叠加结果。与源环流类似，只是Q的符号相反。故只要把源环流中的Q改为负号，即得汇环流的叠加结果。其时，速度势和流函数分别为 流线方程为 或 （7-47） （7-48） 等势线 流线 亦为一组正交的对数螺旋线，只是流动方向由外向内流。旋风燃烧室、离心式除尘器属于此种螺旋流。 （7-49） 二、等强度点源和点汇及偶极流 等强度点源和点汇，其强度分别为Q和-Q。流场叠加结果，当源点和汇点无限接近趋于极限时，形成偶极流。 如图，设源点与汇点的距离为 ，则任意点M(x,y)处的速度势为 其中， 和 分别表示M点距源点和汇点的距离。由图可得 则代入式（7-50）后，有 或进一步化为 （7-50） 速度： 流函数： 流线： 即流线是经过源点和汇点的圆周族线，并且从源点流出的流量全部流入汇点。 也可以经过一下推导看出流线形状： 流线微分方程： 当源点和汇点无限接近时， 可根据级数 展开，并近似地取第一项，可得速度势 （7-51） 而 于是 而流函数 （7-52） 由于 则 再利用级数展开式 由于 很小，只保留第一项，则流函数可写为 （7-53） 此时 ，将有 ，而导致 的极限趋于某一极限值M。M称为偶极流的偶极矩，是一个矢量，其方向由点源指向点汇。将M带入式（7-51）和式（7-53），则得到偶极流的速度势和流函数分别为 （7-54） 显然，偶极流的流线方程为 或 是圆心在y轴上的圆曲线簇，并在坐标原点处与x轴相切，如图