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北航 线性系统 第20讲 北航 线性系统 第20讲 基于观测器的状态反馈与 动态输出反馈系统 结论:以上分析表明，(5-45)、(5-46)确实给出了一个n-q 维的状态观测器。现将以上结论总结如下： 定理5-18若（A, C）可观测，rank C=q ，则对(A, B, C ）可构造n ?q 维状态观测器(5-45),(5-46)(5-45)(5-46)，而且观测器的极点可任意配置。若再假定（A, B）可控，则该观测器具有最小维数。 事实上，若假定（A, B）可控，定理5-12的基本条件：(条件(A, B, ）可控、控(F , E ) 可观测满足。此时，根据观测满时根据定义5?1可知，当K=I时就构成了一个(n ?q ) 维的状态观测器，而定理定5?17表明，它是一个最小维观测明个维器。 利用(5-46)，可得 ?=w =?x I ??n ?q ?0??1???=??1?z +??g 1 ???1???g 1?1??C 1C 2??z +????0??1?g 2?y g 2???1?C 1(I q ?C 2G 2) ??y G 2? 最后，需要指出，K x 观测器的维数可能会比 n ?q 低，究竟低到什么程度则尚不清楚。最小阶K x 观测器的设计仍是一个困难的问题。 状态观测器小结 1）当((A,B,C), , ) 可控、可观测时，则一定存在系统的基本全维状态观测器和Kx 状态观测器。 2）当((A,B,C), , ) 可控、可观测且 rank C=q 时，可求得其最小维状态观测器。 3）最小维Kx 状态观测器存在性问题？ 例题系统方程为 ??210?0?21A =??00?1???100 ?1000?C =???0010?0??0?1??0??0??0?B =???0????1? 当取K =[ 0 1 0 1 ]=[0101]时，时K x 观测器为 z =?3z ?[25]y +u w =z +[13]y 其维数小于n ?2=2。其维数 §5-3利用观测器构成的状态反馈系统 一、基于观测器的状态反馈系统的构成 设原系统(对象) 方程为 =A x +B u , x y =C x (5-48)() 且(A , B , C ) 可控、可观。若状态x 不可测量，很自然想到：是否可用x ?来代替x 形成状态反馈？即 ?u =v +K x n 维状态观测器的方程为：维状态观测器的方程为 ?=(A ?G C ) x ?+B u +G y x (5-49)15 由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方块图, 如下图所示。如下图所示 v u =Ax +Bu x y =Cx y ?+v ，闭环系统为组合系统：此时，u =K x =A x +B u =A x +BK x ?+B v ?x ? ?=(A ?GC ) x ?+G y +B u =(A ?GC +BK ) x ?+G y +B v ?x ?y =C x ? 二、基于观测器的状态反馈系统的特性 1.组合系统的矩阵表达形式 这里考虑n n 维状态观测器。组合系统： =A x +B K x ?+B v , y =C x x ?=(A ?G C +B K ) x ?+G y +B v x (S-1)(S-2) 图5-5所示的闭环系统是一个所的闭系统个2n 维的系统。根据根据(S-1)式和(S-2)式可得到闭环的动态方程式为 ??A ?x BK ??x ??B ?+??v ? ?=?????GC A ?GC +BK x ?x ?????B ??? ?x ?y =[C 0]?????x (5-50) 2. 组合系统的可控性：分离性原理 将(5-50) 式的动态方程进行如下的坐标变换 ?x ??I =??x ?? ??I ?I 0?P =???I ?I ?0??x ???????I ??x P ?1?I 0?=???I ?I ? 变换后，所得到的动态方程为 ??A +BK ?BK ??x ??B ??x v =+?x ??????? ??0?A ?GC ??x ???0 ?x ?y =[C 0]?? ?可控性分解?x (5-51) =x ?x ?。其中，x 注意到上式是可控性分解的形式，不可控部分 A ?GC （这说明观测器的所有模态均