《用空间向量研究直线、平面的位置关系》课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册.pptx

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第一章 空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系学习目标1.能用向量语言描述点、直线和平面,理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系,3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.探索新知一、空间中点、直线和平面的向量表示例题剖析二、空间中直线、平面的平行1.直线与直线平行2.直线与平面平行3.平面与平面平行例题剖析三、空间中直线、平面的垂直1.直线与直线垂直2.直线与平面垂直3.平面与平面垂直例题剖析课堂小练1.空间中点的向量表示:如图,在空间中,我们取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.2.空间中直线的向量表示:如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取,设P是直线l上的任意一点,由向量共线的条件可知,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使得,即.空间直线的向量表示式:如图,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使 ①,将代人①式,得 ②,①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间中平面的向量表示:平面可以由内两条相交直线确定.如图,设两条直线相交于点O,它们的方向向量分别为a和b,P为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对,使得.空间平面的向量表示式:如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,使③.我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.用点和直线的方向向量来确定平面:如图,直线. 取直线l的方向向量a,我们称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.例1 如图,在长方体中,,,M是AB的中点,以D为原点,,,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求平面的法向量;(2)求平面的法向量.解:(1)因为y轴垂直于平面,所以是平面的一个法向量.(2)因为,,,M是AB的中点,所以M,C,的坐标分别为,,.因此,.设是平面的法向量,则,.所以,所以,取,则,.于是是平面的一个法向量.如图,设,分别是直线,的方向向量,由方向向量定义知,如果两条直线平行,那么它们的方向向量一定平行;反过来,如果两条直线的方向向量平行,那么这两条直线也平行,所以,使得.如图,设u是直线l的方向向量,n是平面的法向量,,则.如图,设,分别是平面,的法向量,则,使得.例2 证明“平面与平面平行的判定定理”:若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.已知:如图,,,,,.求证:.证明:如图,取平面的法向量n,直线a,b的方向向量u,v.因为,,所以,.因为,,,所以对任意点,存在,使得.从而.所以,向量n也是平面的法向量. 故.例3 如图,在长方体中,,,.线段上是否存在点P,使得平面?证明:以D为原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为A,C,的坐标分别为,,,所以,.设是平面的法向量,则,,即,所以.取,则,.所以是平面的一个法向量.由,,的坐标分别为,,,得,.设点P满足,则,所以.令,得,解得,这样的点P存在.所以,当,即P为的中点时,平面.如图,设直线,的方向向量分别为,,则.如图,设直线l的方向向量为u,平面的法向量为n,则,使得.如图,设平面,的法向量分别为,,则.例4 如图,在平行六面体中,,,求证:直线平面.证明:设,,,则为空间的一个基底,且,,.因为,,所以,.在平面上,取,为基向量,对于平面上任意一点P,存在唯一有序实数对,使得.所以.所以是平面的法向量,所以平面.例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.已知:如图,,,求证:.证明:取直线l的方向向量u,平面的法向量n.因为,所以u是平面的法向量.因为,而n是平面的法向量,所以.所以.1.已知直线l与平面垂直,直线l的一个方向向量为,向量与平面平行,则实数z等于( )A.3 B.6 C.-9 D.9答案:C解析:由题意可得,则,解得.故选C.答案:B解析:,,.2.若直线的方向向量分别为,,则( )A.C.相交但不垂直答案:D解析:,,.解得.3.已知平面的一个法向量为,平面的一个法向量为,若,则( )A.4B.C.5D.答案:A解析:.由为平面的法向量,得,即,解得.4.已知平面内的两个向量,,且,若为平面的法向量,则m,n的值分别为( )A.B.C.1,2D.答案:D解析:因为,所以.又点A不在

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