《用空间向量研究直线、平面的位置关系》课件-2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptx

第一章 空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系学习目标1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量和平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系，3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理.探索新知一、空间中点、直线和平面的向量表示例题剖析二、空间中直线、平面的平行1.直线与直线平行2.直线与平面平行3.平面与平面平行例题剖析三、空间中直线、平面的垂直1.直线与直线垂直2.直线与平面垂直3.平面与平面垂直例题剖析课堂小练1.空间中点的向量表示：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.2.空间中直线的向量表示：如图，a是直线l的方向向量，在直线l上取，设P是直线l上的任意一点，由向量共线的条件可知，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得，即.空间直线的向量表示式：如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使 ①，将代人①式，得 ②，①式和②式都称为空间直线的向量表示式. 由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.3.空间中平面的向量表示：平面可以由内两条相交直线确定.如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，由平面向量基本定理可知存在唯一的有序实数对，使得.空间平面的向量表示式：如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，使③.我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.4.用点和直线的方向向量来确定平面：如图，直线. 取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面的法向量. 给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合.例1 如图，在长方体中，，，M是AB的中点，以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面的法向量；（2）求平面的法向量.解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量.（2）因为，，，M是AB的中点，所以M，C，的坐标分别为，，.因此，.设是平面的法向量，则，.所以，所以，取，则，.于是是平面的一个法向量.如图，设，分别是直线，的方向向量，由方向向量定义知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行，所以，使得.如图，设u是直线l的方向向量，n是平面的法向量，，则.如图，设，分别是平面，的法向量，则，使得.例2 证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.已知：如图，，，，，.求证：.证明：如图，取平面的法向量n，直线a，b的方向向量u，v.因为，，所以，.因为，，，所以对任意点，存在，使得.从而.所以，向量n也是平面的法向量. 故.例3 如图，在长方体中，，，.线段上是否存在点P，使得平面？证明：以D为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为A，C，的坐标分别为，，，所以，.设是平面的法向量，则，，即，所以.取，则，.所以是平面的一个法向量.由，，的坐标分别为，，，得，.设点P满足，则，所以.令，得，解得，这样的点P存在.所以，当，即P为的中点时，平面.如图，设直线，的方向向量分别为，，则.如图，设直线l的方向向量为u，平面的法向量为n，则，使得.如图，设平面，的法向量分别为，，则.例4 如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面.证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，.因为，，所以，.在平面上，取，为基向量，对于平面上任意一点P，存在唯一有序实数对，使得.所以.所以是平面的法向量，所以平面.例5 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.已知：如图，，，求证：.证明：取直线l的方向向量u，平面的法向量n.因为，所以u是平面的法向量.因为，而n是平面的法向量，所以.所以.1.已知直线l与平面垂直，直线l的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数z等于( )A.3 B.6 C.-9 D.9答案：C解析：由题意可得，则，解得.故选C.答案：B解析：，，.2.若直线的方向向量分别为，，则( )A.C.相交但不垂直答案：D解析：，，.解得.3.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则( )A.4B.C.5D.答案：A解析：.由为平面的法向量，得，即，解得.4.已知平面内的两个向量，，且，若为平面的法向量，则m，n的值分别为( )A.B.C.1，2D.答案：D解析：因为，所以.又点A不在