【原创】 基本不等式公开课初稿.pptVIP

基于数学核心素养之“数学运算”培养的实践研究 --以基本不等式 （第一课时）为例 二、数学理解 A D C B H G F E 三国时期吴国数学家赵爽 一、创设情境 思考2-3：“风车”中有哪些图形，这些图形的面积有什么相等关系和不等关系？ 请看几何画板 问：何时相等？ A B C D E(FGH) a b 思考4： A D C B H G F E 证明：（作差法） 不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 当且仅当a=b时，等号成立。 此不等式称为重要不等式 2.代数证明: 3.几何证明: （当且仅当a=b时，等号成立） 算术平均数 几何平均数 1.思考6:如果当 用 去替换 的 ,能得到什么结论? 基本不等式 证法1：综合法 证法2：分析法 证明：要证 只要证 ① 要证①，只要证 ② 要证②，只要证 ③ 显然, ③是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立. 分析法 证明不等式： 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? ②如何用a, b表示CD? CD=______ ①如何用a, b表示OD? OD=______ ③OD与CD的大小关系怎样? OD_____CD ≥ 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD. 几何意义：半径不小于弦长的一半 A D B E O C a b 2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 3.几何意义：半弦长小于等于半径 从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项 （当且仅当a=b时，等号成立） 算术平均数 几何平均数 如果当 则有 基本不等式 例1：(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 解：如图设BC=x ，CD=y ， 则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. 当且仅当 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m. 此时x=y=10. x=y A B D C 若x、y皆为正数， 则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时， x+y有最小值_______. 三、典例分析 例1：(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 解：如图，设BC=x ，CD=y ， 则 2(x + y)= 36 , x + y =18 矩形菜园的面积为xy m2 得 xy ≤ 81 当且仅当x=y时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 菜园面积最大，最大面积是81m2 即x=y=9 A B D C 若x、y皆为正数， 则当x+y的值是常数S时， 当且仅当x=y时， xy有最大值_______； 1、本节课主要内容？ 你会了吗？ 四 、课堂小结 2、两个结论:两个正数,积定和最小;和定积最大。 注意：一正二定三相等！ 已知a,b都是正数， （1）若ab是定值P, 则当a=b时, a+b有最小值 ； （2）若a+b是定值S, 则当a=b 时,ab有最大值 ； 利用基本不等式求最值 积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。 积一定，和有最小值； 和一定，积有最大值。 注意：一正二定三相等！ 作业 课本P100练习1、2、3、4 A组 第1、2题 再见! 构造条件 三、应用 例1、若 ,求 的最小值. 变3:若 ,求 的最小值. 变2:若 ,求 的最小值. 发现运算结构，应用不等式 问:在结论成立的基础上,条件“a0,b0”可以变化吗？ 变1:若 求 的最小值 变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：设AB=x ，BC=24－2x ， 矩形花园的面积为x(24－2x) m2 当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2 (其中2x+(24-2x)=24 是定值) 三、应用