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积分在计算物体体积和质量等问答中的应用 积分在计算物体体积和质量等问答中的应用 PAGE / NUMPAGES 积分在计算物体体积和质量等问答中的应用 * * 本科学年论文 论文题目 ：积分在计算物体体积和质量等问题中的应 用 学生姓名 ： 学 号： 专 业： 班 级： 指导教师 ： * * 完成日期 ： 2011 年 12 月 20 日 * * 目录 内容摘要 1 关键词 1 序言 2 一、定积分的微小元素法 3 1、内容要点 3 2、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 5 3、计算面积的元素法步骤： 5 二、空间立体的体积 5 1、平行截面面积为已知的立体体积 5 2、旋转体的体积 8 三、重积分在几何中的应用 11 四、重积分在物理学中的应用 13 1、三重积分的概念 13 2．三重积分的定义 14 3、三重积分的物理意义： 15 4、三重积分的性质 15 五、质量 16 参考文献 19 * * 积分在计算物体体积和质量等问题中的应用 内容摘要 掌握定积分计算基本技巧； 并用所学的定积分的微元法 （元素法） 去解决各种领域中的 一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 （旋转体的体积平行截面面积 为已知的立体体积等） 。对于重积分的计算其基本思想是将重积分化为累次积分进行计算  . 本文首先给出如何应用定积分的微元法  （元素法） 再到运用定积分解决实际问题，  最后引出 二重积分，三重积分。再通过例子研究积分性质在计算实际问题中的应用 . 关键词：积分 体积 质量 定积分 * * 序言 用找出未知量的元素 （微元）的方法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法是解决积分问题的重要思想。 而重积分是一元函数定积分的推广，是多元函数积分学的重要组成部分，在几何学与 物理学中都得到了广泛的应用 .在几何上，重积分可用来求空间曲面的面积、求空间区域的 体积 .在物理上，重积分可用来求物体的质量等 .但与定积分相比较，重积分的计算除了与被 积函数的结构有关外，更大程度上与积分区域的特点有关 .下面就针对积分对于计算物体体 积和质量的问题进行分析 . * * 一、定积分的微小元素法 1、内容要点 定积分概念的引入，体现了一种思想，它 x 就是：在微观意义下，没有什么“曲、直”之 y f ( x) 分，曲顶的图形可以看成是平顶的， “不均匀” 的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以 a x b “直”代“曲” ，以“不变”代“变” ；用这一 * * 思想来指导我们的实际应用，许多计算公式可 以比较便利地得出来。 比如，求右图所示图形的面积时，在 [a, b] 上任取一点 x，此处任给一个“宽度” x ，那 么这个微小的“矩形”的面积为 dS f ( x) x f ( x)dx 此时我们把 dS f ( x)dx 称为“ 面积微元 ”。把这些微小的面积全部累加起来，就是整个图 形的面积了。这种累加通过什么来实现呢？当然就是通过积分，它就是 b S f ( x)dx 。 a 这些“面积微元” ，几乎就是细线段，当这些数都数不清的“细线段”一根一根地累加起来， 就形成了整个图形的面积。 打一个不很严格的比方，这些“细线段”的厚度，就好比我们课本纸张的厚度，当很多 很多的纸张叠在一起的时候， 这个面积就出来了。 不是吗？页数很多的书不是比较厚吗？人 们就是在这样一个思想下解决问题的。 我们把这样的思想方法称为“ 微元法 ”。 再比如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在 T0 到 T1 的时间内，任取一 个时间值 t，再任给一个时间增量 t ，那么在这个非常短暂的时间内（ t 内）质点作匀速 运动，质点的速度为 v ( t )，其运行的路程当然就是 dS v(t) t v(t )dt dS v(t )dt 就是“ 路程微元 ”，把它们全部累加起来之后就是： T1 S v(t )dt T0 用这样的思想方法， 将来我们还可以得出 “弧长微元” 、“体积微元” 、“质量微元” 和“功 微元”等等。这是一种解决实际问题非常有效、可行的好方法。 * * 2、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 Y n b 面积 A lim f ( i ) xi f (x)dx y=f(x) 0 i 1 a 面积元素 dA = f ( x)dx x0= a x1 x2 x3 xn= b X 3、计算面积的元素法步骤： 1）画出图形； 2）将这个图形分割成 n 个部分，这 n 个部分的近似于矩形或者扇形； 3）计算出面积元素； 4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、空间立体的体积 1、平行截面面积为已知的立体体积 定理一：设 V 是位于 [a,b]