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规范答题提升课(一) 函数与导数综合问题 高中全程复习方略 【考　题】 (12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=2sin x-xcos x-x，① f′(x)为f(x)的导数. (1)证明:f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点. ② (2)若x∈[0,π]时,f(x)≥ax，③ 求a的取值范围. 【命题意图】该题主要考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围等问题,考查函数与方程思想、转化与化归思想以及数学抽象、数学运算以及逻辑推理等核心素养. 【模板流程与说明】 【规范解答】(1)设g(x)=f′(x),则g(x)=cos x+xsin x-1,g′(x)=xcos x. …………………………………………………………………………1分 当x∈ 时,g′(x)0; 当x∈ 时,g′(x)0, ………………………………………………2分 所以g(x)在 单调递增,在 单调递减. …………………………………………………………………………3分 又g(0)=0,g 0,g(π)=-2,故g(x)在(0,π)存在唯一零点. ……………4分 所以f′(x)在(0,π)存在唯一零点. …………………………5分 (2)由题设知f(π)≥aπ,f(π)=0,可得a≤0. ……………………6分 由(1)知,f′(x)在(0,π)只有一个零点,设为x0,且当x∈(0,x0)时,f′(x)0; 当x∈(x0,π)时,f′(x)0, ……………………7分 所以f(x)在(0,x0)单调递增,在(x0,π)单调递减. ………………………………………………………………8分 又f(0)=0,f(π)=0, 所以,当x∈[0,π]时,f(x)≥0. ……………………10分 又当a≤0,x∈[0,π]时,ax≤0,故f(x)≥ax. 因此,a的取值范围是(-∞,0]. …………………… 12分 得分点:根据函数值符号判断零点的存在性,依据就是零点存在性定理.该处只需判断g(π)0即可.所以不需求值,只要判断准确函数值符号就不扣分. 得分点:根据导函数符号判断函数单调性,该处需要结合(1)问的结论,如判断失误,不能确定单调区间,则后面解题过程不得分. 易错点:不能正确判断f(x)的符号扣1分. 易错点:该处失分点,易漏掉等号导致扣1分. 【考情分析】 利用导数研究函数的单调性、零点等是历年高考命题的重点与热点,此类问题虽然设问方式或载体函数多变,但核心问题就是综合运用导数.这类题型应加强熟练程度,提高综合灵活解决这类题的能力.