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芝诺悖论无穷级数解释 芝诺悖论无穷级数解释 芝诺（Zeno of Elea）辩论（Argument） ——从量子的角度能得到完善的解决。这里用无穷级数做些解释。 阿基里斯与乌龟赛跑问题：古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯和乌龟的赛跑，如果先让乌龟爬行1000米后，再让阿基里斯去追乌龟，那么阿基里斯不可能追上乌龟。 芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ 从逻辑上讲上述辩论没有任何问题，但显然不符合现实！ 无穷级数分析： 设乌龟的出发点为A1, 阿基里斯的起跑点为A0，两者的间距为s1，乌龟的速度为v，阿基里斯的速度是乌龟的100倍，即为100v. 因为乌龟爬行到A2的时间与阿基里斯到达A1的时间相等，所以 s2ss?1，即s2?1. v100v100 以此类推，sn?1?sn?2s,sn?n?1，所以 100100 ?1?sn????100? 阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为： n?1s1 s?s1?s2?s3??sn? 2 1 ?s1?s1100?1????s1?10?0?1???s1??10?03?1????s1? ?10?0 n?1n?123?1?1??1??s1?1?????????100?100??100???1?????100???? ?? ??1?n?1??1????100????100?s1lim?s1. n??991?100 因此，从表面上看，阿基里斯在追赶乌龟的过程中总跑不完，但模型分析计算可知当阿基里 斯追到离起点100s1处时，已经追赶上了乌龟。 99