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专题3--关于变上限积分 函数 的一个重要规则 专题3--关于变上限积分lpar;函数rpar;的一个重要规则 专题3——?a f (x ) g (t ) dt =f (x ) ?a g (t ) dt 这里的标题就是一个公式： f (x ) g (t ) dt =f (x ) ?g (t ) dt ，这个公式为什么成立？专题2中出现 f (x ) dx ，参照标题公式，为什么不把它化为?f (x ) dx =f (x ) ?dx ？这一切问题困扰着你幼 解决这些问题的关键是找准积分变量！什么是积分变量？微分符号d 后面的变量就是积分变量，dt ——t 就是积分变量，dx ——x 就是积分变量，du ——u 就是积分变量。 积分区间和积分变量是什么关系？积分区间就是积分变量的取值区间！ 在清楚了以上基本的知识后，再回过头来理解标题公式 f (x ) g (t ) dt =f (x ) ?g (t ) dt ，明显，这 里的积分变量就是t ，不是x ，那么积分区间[a , x ]（x a ）就是t 的变动范围。假如函数g (t ) 的 原函数为G (t ) ，即G (t ) =g (t ) ，那么f (x ) G (t ) 对t 求导，有[f (x ) G (t )]=f (x ) g (t ) ，那么， f (x ) g (t ) dt =?[f (x ) G (t )]dt =[f (x ) G (t )]|a =f (x ) G (x ) -f (x ) G (a ) ，而 x f (x ) ?g (t ) dt =f (x ) ?G (t ) dt =f (x ) ?G (t ) |a =f (x ) ?[G (x ) -G (a )]=f (x ) G (x ) -f (x ) G (a ) ， f (x ) g (t ) dt =f (x ) ?g (t ) dt 。所以说公式中f (x ) 就相当于定积分不定积分中的常数K ，当然 可以提到积分外面去。 这里的积分变量是x （这f (x ) dx 为什么不能做如下转化：?f (x ) dx =f (x ) ?dx ， 里的积分变量x 和积分上限的x 不是同一个x ，当然为了避免混淆，一般把 f (x ) dx 写成 ，f (t ) dt 这种形式，在这里之所以讨论这个让人生倦的问题，是为了让你更好理解本节的主题） 假设f (x ) 的原函数为F (x ) ，即F (x ) =f (x ) ，那么 f (x ) dx =?F (x ) dx =F (x ) |=F (x ) -F (x 0) ，而f (x ) ?dx =f (x ) ?x |x x )(x -x ) x 0=f (0，因 f (x ) dx ≠f (x ) ?dx 红字部分的讨论可能有些失败（你打印出来应该是黑体了），你不能体会也没关系，但是要记住这一 原则：当积分变量和积分上限变量相同时，我们一定要把积分变量换成其他的量（“定积分的值与积 分变量的选取无关”——这一点是你变换积分变量的理论基础），比如t （被积函数中的变量做相应