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三角函数解题技巧和公式 已整理 三角函数解题技巧和公式lpar;已整理rpar; 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于sin α±cos α与sin αcos α(或sin 2α) 的关系的推广应用： 1、由于(s αi ±c n o α) 2s =s i 2αn +c o αs ±2s i αc n o α=s 1±2s i αc n o αs 故知道 ，必可推出sin αcos α(或sin 2α) ，例如： (s αi ±n c o α) s 例1 已知sin θ-cos θ= , 求sin 3θ-cos 3θ。 3 分析：由于sin 3θ-cos 3θ=(sinθ-cos θ)(sin2θ+sin θcos θ+cos 2θ) =(sinθ-cos θ)[(sinθ-cos θ) 2+3sin θcos θ] 其中，sin θ-cos θ已知，只要求出sin θcos θ即可，此题是典型的知sin θ-cos θ，求sin θcos θ的题型。 解：∵(sinθ-cos θ) 2=1-2sin θcos θ 故：1-2sin θcos θ=( 211) =?sin θcos θ= 333 sin 3θ-cos 3θ=(sinθ-cos θ)[(sinθ-cos θ) 2+3sin θcos θ] = 31314[() 2+3?]=?= 333339 2、关于tg θ+ctgθ与sin θ±cos θ，sin θcos θ的关系应用： sin θcos θsin 2θ+cos 2θ1 由于tg θ+ctgθ= +== cos θsin θsin θcos θsin θcos θ 故：tg θ+ctgθ，sin θ±cos θ，sin θcos θ三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin θ+cosθ=m2，且tg θ+ctgθ=n，则m 2 n的关系为（ ）。 A ．m 2=n B．m 2= +1 C．m 2= D．n =2 n n m 分析：观察sin θ+cosθ与sin θcos θ的关系： (sinθ+cos θ) 2-1m 2-1 = sinθcos θ= 而：tg θ+ctg θ= sin θcos θ m 2-112故：=?m 2=+1，选B 。 例3 已知：tg α+ctgα=4，则sin2α的值为（ ）。 A． B．- C． D．- =4?sin αcos α= 分析：tg α+ctgα= sin αcos α4 故：sin 2α=2sin αcos α?sin 2α=。 答案选A 。 例4 已知：tg α+ctgα=2，求sin 4α+cos 4α 分析：由上面例子已知，只要sin 4α+cos 4α能化出含sin α±cos α或sin αcos α的式子，则即可根据已知tg α+ctgα进行计算。由于tg α+ctgα= sin αcos α= sin αcos α ，此题只要将sin 4α+cos 4α化成含sin αcos α的式子即可： 2 解：sin 4α+cos 4α=sin 4α+cos 4α+2 sin2αcos 2α-2 sin2αcos 2α =（sin 2α+cos2α）- 2 sin2αcos 2α =1-2 (sinαcos α) 2 =1-2?() 2 通过以上例子，可以得出以下结论：由于sin α±cos α，sin αcos α及tg α+ctgα三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sin αcos α，求含sin α±cos α的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α，要进行开方运算才能求出sin α±cos α 二、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg α（或ctg α）与含sin α（或cos α）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： sin α-3cos α 例5 已知：tg α=3，求的值。 2sin α+