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椭圆教学设计 椭圆及其标准方程（第1课时） 贵州省遵义市习水县第一中学 袁嗣林 【教学及培养目标】 双基：理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆的标准方程；进一步学习类比、数形结合的数学思想方法，理解坐标法及其应用． 能力：通过让学生积极参与，亲身经历椭圆定义和标准方程的获得过程，体验坐标法在处理几何问题中的优越性；在探索椭圆标准方程过程中，培养分析和概括能力． 【教材处理的建议】 重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 难点：椭圆标准方程的推导与化简． 【教学技巧与辅助手段】 运用多媒体（ppt ）和实物投影仪等辅助教学． 【教学探究过程】 一、创设问题情景、引出概念 首先用多媒体演示“神舟六号”飞船绕地球旋转运行的画面，并描绘出运行轨迹图． 探究一 “神舟七号”飞船绕地球旋转的轨迹是什么图形？（椭圆） 此外老师可以指出，在生活中，除椭圆外，还有抛物线、双曲线等例子． 再运用多媒体演示一个平面截圆锥的各种情形，向学生介绍“圆锥曲线”这个名称的来历． 教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的． （说明：本环节由实际例子引入，让学生形成椭圆的感性认识，感受数学的应用价值，明白生活实践中有许多数学问题，数学来源于实践，同时培养学生学会用数学的眼光去观察周围事物的能力．） 二、引导学生探究尝试、归纳提炼形成概念 引导：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹，那么椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？要想知道椭圆是满足什么条件的点的轨迹，首先要知道椭圆的几何特征． 学生实验：按课本上介绍的方法，学生用一块纸板，两个图钉，一根无弹性的细绳尝试画椭圆． 让学生自己动手画图，同桌相互切磋，探讨研究．（提醒学生：作图过程中要注意观察椭圆的几何特征，即椭圆上的点要满足怎样的几何条件？） （说明：按学生的认识规律与心理特征，设置一系列递进的问题，让学生动手实践，在实验中引导学生自己观察椭圆上的点满足的几何条件，从而认识椭圆概念．） 启发、归纳出椭圆的定义： 平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数（大于| F1F 2|）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 引导学生找定义的关键处： ②任意一点到两个定点的距离的和等于常数； ③常数大于| F1F 2|． （说明：实验中发现椭圆的几何特征，可以挖掘出椭圆定义的内涵，使得学生对椭圆的定义留下深刻印象．） 三、椭圆标准方程的推导 由老师带学生回忆圆的方程的建立过程，归纳求曲线方程的一般步骤：建系列出方程 化简方程．建系一般应遵循简单、优化的原则． （说明：温故而知新，类比圆的方程的建立过程，归纳出求曲线方程的一般步骤，为下一步学习做好铺垫．） 探究二 怎样建立坐标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？ （说明：正确选取坐标系是建立曲线方程的关键之一，结合建立坐标系的一般原则── 利用曲线的几何特征，特别是对称性，可以使曲线方程简单化．可以从“对称美”、“简洁美”等角度作一定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系．） 经学生讨论易得如下方案： 1．建系．取过焦点 的直线为轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立坐标系． 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距 3．列式．依据椭圆的定义，有 教师启发：这个方程形式复杂，应该化简．化简的目的是去掉根式，可两边平方．但这里有两个根式，如何平方更简捷？ 引导学生得出：应该用移项平方，再移项再平方的方法． （说明：在解决解析几何问题中，熟练运用代数变形技巧是十分重要的，学生常因运算能力不强而功亏一篑．在此应抓住机会加强运算技能的训练．） 4．化简．通过移项, 两次平方后得到： 由椭圆的定义可知， 思考：观察上图，能从中找出表 的线段吗？由图可知 此即为椭圆的标准方程．它所表示椭圆的焦点在轴上，焦点是坐标原点的椭圆方程． 探究三：如果椭圆的焦点F 1，F 2在y 轴上，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，a ，b ，c 意义同上，椭圆的方程形式又如何？ 学生讨论、交流，合情猜想可得，焦点变成, 只要将方程 中的调换，即可得（），它所表示的是焦点在轴上的椭圆标准 要求学生课后推导验证． （说明：发挥学生的直觉思维，类比得到焦点在 引导学生注意理解以下几点