数学模型概论1.ppt

数学模型;教材及主要参考书;数学建模发展史;于是他和一些看法相同的同行发起，在1985 年举办了美国大学生首届数学建模竞赛 ( Mathematical Competition in Modeling ) ，1988 年后改称为Mathematical Contest in Modeling ，均缩写为MCM ，以后每年举办一次，它吸引了世界上许多国家和地区的大学生参加。;自1989 年以来，我国学生还积极参加美国大学生数学建模竞赛，近年来我国参赛队数接近于其总数的三分之一，而且还取得了很好的成绩，充分展示出我国大学生的智慧和创造性。 我国的大学生数学建模竞赛是从1992 年开始的，由中国工业与应用数学学会举办。这一新生事物从一开始就受到广大师生的欢迎和各级教育部门的关心与重视。并从1994 年起改由教育部高教司和中国工业与应用数学学会联合举办，并成立了全国组委会来具体组织竞赛。 ;课程简介;2019年建模竞赛题目;;;;3 教学目的;数学模型： 1）近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。 2）本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。 3）姜启源（中）的定义：是指对于现实世界的某一特定对象，为了某个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构。;数学结构：是指数学符号、数学关系式、数学命题、图形图表等，这些基于数学思想与方法的数学问题。;数学建模过程;当然，实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本思想已经包含在解这个代数应用题的过程中了。那就是： 根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知量（x，y 代表船速和水速）； 利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）； 求出数学上的解（x =20 ， y = 5 ) ； 用这个答案解决问题（船速和水速分别为20km/h 和5 km/h ) ； 最后还要用实际现象来验证上述结果。 ;数学建模过程;建立数学模型的方法和步骤; 数学建模示例建模示例之一 椅子的稳定性问题;假设 1）地面为光滑曲面； 2）相对地面的弯曲程度而言，椅子的腿是足够长的； 3）只要有一点着地就视为已经着地，即将与地面的接 触视为几何上的点接触； 4）椅子的中心不动。;x;假设： 是 的连续函数， 且 对任意 ， 求证：至少存在 ，使得;4 模型求解;思考题1：长方形的椅子会有同样的 性质吗？;建模步骤;1）模型准备： 了解问题的实际背景，明确建模目 的，掌握对象的各种信息如统计数据等，弄清实际 对象的特征。 有时需查资料或到有关单位了解情况等。;2）模型假设：根据实际对象的特征和建模目的，对问 题进行必要地合理地简化。不同的假设会得到不同的模型。如果假设过于简单可能会导致模型的失败或部分失败，于是应该修改或补充假设，如“四足动物的体重问题”；如果假设过于详细，试图把复杂的实际现象的各个因素都考虑进去，可能会陷入困境，无法进行下一步工作。分清问题的主要方面和次要方面，抓主要因素，尽量将问题均匀化、线性化。;3）模型建立： 分清变量类型，恰当使用数学工具； 抓住问题的本质，简化变量之间的关系； 要有严密的数学推理，模型本身要正确； 要有足够的精确度。 4）模型求解：可以包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等。会用到传统的和近代的数学方 法，计算机技术（编程或软件包）。特别地近似计 算方法（泰勒级数，三角级数，二项式展开、代数 近似、有效数字等）。;6）模型检验： 把模型分析的结果“翻译”回到实 际对象中，用实际现象、数据等检验模型的合理性 和适应性检验结果有三种情况：符合好，不好，阶 段性和部分性符合好。 7）模型应用：应用中可能发现新问题，需继续完善。;模型的分类;3）按模型的应用领域（或所属学科）分 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等。;5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、 决策模型、控制模型等。;练习;37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？共进行多少轮？