高考命题新思维之二.pptVIP

高考命题新思维之二 文物中寻找数学之美 高中全程复习方略 【题目】(2019·全国卷Ⅱ第16题)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.(本题第一空2分,第二空3分)? 【试题点评】 试题首次设计了两个空,分出了难度梯次,使得不同的考生都有展示自己的平台,加大了试题的区分度.也使文理合卷后的试题结构变化作了有益的探索.试题要求考生根据条件作出正确的界面,将立体问题转化为平面问题,正确分析图形中基本元素及其相互关系.题目侧重于知识的理解和应用,对高中立体几何的教学和学习有积极的引导作用. 【命题探源】 这道题中的“半正多面体”正是现藏于陕西历史博物馆的馆藏文物西魏大将军独孤信(502年-557年)多面体煤精组印.该印体高4.5厘米,宽4.35厘米,重75.7克,印质地煤精石,是由26个大小不一的正方形和三角形组成的多面体.其中14个正方形印面上刻着规范的楷书阴文,分别为“臣信上疏”“臣信上章”“臣信上表”“臣信启事”“信白笺”“信启事”“大司马印”“大都督印”“刺史之印”“柱国之印”“耶敕”“令”“密”以及“独孤信白书”.14面印文内容不同,各有其用途,是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料. 　　这枚印章的主人西魏大将军独孤信是西魏威震四方的一代名将,因战功卓著,拔至宰辅,声名远播.独孤信不仅自身战功赫赫,他的女儿也很有名.他有7个女儿,其中大女儿嫁给了北周明帝宇文毓,七女儿嫁给了隋开国皇帝杨坚,四女儿嫁给了唐代开国皇帝李渊的父亲.因此,人们戏称他为“史上最牛老丈人”. 　　这枚印章不仅见证了主人的荣光,而且是研究北朝印玺制度的珍贵实物资料,它的“科学之美”还给了科学家很多研究的灵感. 【高考声音】 填空题从过去的一题一空发展到一题两空,目的就是为了更加精确地区分考生.以往的填空题一题一空,没有中间分,考生不是得5分就是得0分,一知半解和功亏一篑是同样的结果.填空题一题两空可以采取平行设计,也可以采取递进设计.平行设计的试题,两空关联性较弱,解答互不影响.递进设计使问题层层深入,对知识地考查更加深入. 【解法探究】 空间想象能力要求高,物体位置还原是关键,遇到新题别慌乱,题目其实很简单,稳中求胜是关键.立体几何平面化,无论多难都不怕.本题的题眼有两处:一是半正多面体的组成——半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,需提炼出半正多面体的棱长均相等;二是将半正多面体放到正方体中去观察其特征——它的所有顶点都在同一个棱长为1的正方体的表面上,需提炼出GH=BG+BC+CH=1.再利用方程思想,即可轻松求出该半正多面体的棱长. 【解析】由图1可知从上数第一层与第三层各有9个面,共18个面,第二层有8个面, 所以该半正多面体共有面18+8=26(个). 如图所示,设该半正多面体的棱长为x,则AB=BE=x,延长CB,与FE的延长线交于点G, 延长BC交正方体的棱长于点H,由半正多面体的对称性可知,△BGE为等腰直角三 角形,所以BG=GE=CH= 　 x,所以GH=2× x+x=( +1)x,又正方体的棱长为1, 所以GH=1,所以( +1)x=1,解得x= -1,即该半正多面体的棱长为 -1. 答案:26　 -1