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排列组合原理 我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要 通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。 如若我们研究对象为数字(如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl２、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素…… 那么，一般地说，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。 例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。 对于初学者可以先画下图来算出： 看上图V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)： 有共24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m2×m1×m3×……×mn种不同的方法。据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N＝４×３×２＝２４种。 数学中有一个排列数公式： 从 n个不同元素中取出m(m ＜-n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号Pnm表示，(P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母)，在数学课本中根据乘法原理可推出排列数的公式为： Pmn＝n(n－１）(n－２）……(n－m＋１） 公式中的 n,m∈N,且m ≤ n 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来排列，所得的排列数则为 Ｐ38＝８×（８－１）（８－２） ＝３３６ (种) 例如：从 8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为 Ｐ58＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３）×（８－４） ＝８×７×６×５×４ 例如：从 8个元素中每次取2个元素出来排列，所得的排列数为 Ｐ28＝８×（８－１）＝８×７＝５６ 例如：从 8个元素中每次取4个元素出来排列，所得的排列数为 P48＝８×（８－１）×（８－２）×（８－３） ＝８×７×６×５ 在排列数公式中，当 m＝n时，有： Ｐnn＝n（n－１）（n－２）……３×２×１ 这表明，n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素，全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。自然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列数公式则为： 前面所讲的排列数公式可作如下变形： Ｐmn＝n（n－１）（n－２）……（n－m＋１） 因此排列数公式还可写成下列形式： (注意：为了使这个公式在m＝n时也成立，我们规定0!＝1，这时Ｐnn＝n!)例如，从8个元素中全部取出来的排列数则为：8的阶乘。 P88＝８×７×６×５×４×３×２×１ 从上述几个例子的分析可见，从 8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。 要是我们将几个思维法进行排列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们思考问题时使用几种思维法去思维，若这几种思维法的使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维效果。可见，排列是一种很重要的方法。 一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从 n个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combination的第一个字母。 例如，前面讲到的从 a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下：组合数 ?????????排列数 由上分析可以看出，对于每一个组合都有 6个不同的排列，因此，求从