第七节圆的内接正多边形.pdf

3.7 圆的内接正多边形 教学目标 ：（1）理解正多边形与圆的关系定理； （2 ）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质； （3 ）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； 教学重点： 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理． 教学难点 ：对 “正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆 ”的理解． 【知识要点】 1．正多边形的定义： 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 2．正多边形与圆的有关定理 把圆分成 n(n ≥3)等份： (1) 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形； (2) 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形； (3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。 注意：①依据正多边形与圆的有关定理 (1) 、(2) ，只要能将一个圆分成 n(n ≥3)等份，就可以 得到这个圆的内接正 n 边形及外切正 n 边形，想一想， 你能否利用直尺和圆规作已知圆的内 接( 或外切 )正三角形、正方形、正六边形、正十二边形； ②如何证明任何一个正多边形 A 1A 2A 3 ……A n-1A n 都有一个外接圆呢？ 我们可过 A 1 、A 2、A 3 三点作一个⊙ O ，分别连结 OA 1、OA 2 、OA 3 ，OA4 ，通过证明△ 1 2 3 4 4 3 2 1 OA A ≌△ OA A ，得到 OA =OA =OA =OA . 从而点 A 4 在⊙ O 上，同理可证 A 5、A6 …… A n-1 、A n 其余各点也都在⊙ O 上，则可推出 此正多边形有一个外接圆。 3. 正多边形的其它性质 (1) 正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 (2)边数相同的正多边形相似，正多边形的内切圆和外接圆是同心圆。 4. 正多边形的有关计算 正多边形的外接圆 (或内切圆 )的圆心叫做正多边形的中心， 外接圆的半径叫做正多边形 的半径， 内切圆的半径叫做正多边形的边心距， 正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 正多边形的中心角。 正 n 边形的有关计算公式 注意：①同一个圆的内接正 n 边形和外切正 n 边形是相似形， 相似比是圆的内接正 n 边形边 1 / 81 / 8 心距与它的半径之比 。这样，同一个正 n 边形的内切圆和外接圆的相似比 ②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和 边长构成的直角 三角形集中反映了正多边形各元素间的关系， 是解计算问题的基本图形， 并且正 n 边形的半 径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。 【例题分析】 1．圆内接正六边形的周长为 24 ，则该圆的内接正三角形的周长为（ ） A ．12 B ．6 C ．12 D ．6 2 ．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等， 试求这个正三角形与这个 正六边形的面积之比。 3 ．如图， 是两个相同的正六边形， 其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外 接圆圆心 O 处