第五讲--最大公约数与最小公倍数讲解学习.pdf

第五讲 最大公约数与最小公倍数 【知识导引】 一、约数的概念与最大公约数 约数又叫因数 ( 在正整数范围内）整数 a 能被整数 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就 叫做 a 的约数。 最大公约数 : 如果一个数既是数 a 的约数， 又是数 b 的约数，称为 [a,b] 的约数。 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数 , 其中最大的一个叫做这几个数的最大 公因数。 1. 求最大公约数的方法 ①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。 例如： 231 3 7 11 ， 252 22 32 7 ，所以 (231,252) 3 7 21 ； 218 12 ②短除法：先找出所有共有的约数， 然后相乘。例如： 3 9 6 ，所以 (12,18) 2 3 6 ； 3 2 ③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最 大公约数。 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一 个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数 除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是 0 为止。 那么，最后一个除数就是所求的最大公约数 ( 如果最后的除数是 1，那么原来的两 个 数 是 互 质 的 ) 。 例 如 ， 求 600 和 1515 的 最 大 公 约 数 ： 1515 600 2L 315 ； 600 315 1L 285 ； 315 285 1L 30 ； 285 30 9L 15； 30 15 2L 0 ；所以 1515 和 600 的最大公约数是 15。 2. 最大公约数的性质 ①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数； ②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数； ③几个数都乘以一个自然数 n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数 乘以 n 。 3. 求一组分数的最大公约数 先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数 a ；求 b 出各个分数的分子的最大公约数 b； 即为所求。 a 二、倍数的概念与最小公倍数 对于整数 m，能被 n 整除（ n/m ）, 那么 m就是 n 的倍数。如 15 能够被 3 或 5 整除， 我们就说 15 是 3 的倍数， 也是 5 的倍数。 几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数 , 其中 最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。 1. 求最小公倍数的方法 ①分解质因数法求最小公倍数 例如： 231 3 7 11 ， 252 22 32 7 ，所以 231,252 22 32 7 11 2772 ； ②短除法求最小公倍数 218 12 例如： 3 9 6 ，所以 18,12 2 3 3 2 36 ； 3 2 a b ③公式法： [ , ] a b (a,b) 2. 最小公倍数的性质 ①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 ②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。 ③两个数具有倍数关系， 则它们的最大公约数是其中较小的数，