专题24三角形中的三角函数(检测)-2019年高考数学名师揭秘之.docx

本专题特别注意： 解三角形时的分类讨论（锐角钝角之分） 三角形与三角函数的综合 正余弦定理及三角形中的射影定理的应用 三角形中的中线问题 三角形中的角平分性问题 多个三角形问题7．三角形的综合 【学习目标】 掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角 【方法总结】 三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化， 三角形形状判断， 明等．以正 弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用．要注活运用正弦定理或余弦定理． 一般考虑从两个方向进行变形， 一个方向是边， 余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理 高考模拟： 则∠ PDO ＝ α，∠ PEO ＝ β， 【答案】 C 【解析】分析： 详解：由 的面积为 ，所以 ，得 ， 在 中，由正弦定理得 ， 当且仅当 时，等号是成立的，故选 C． 点睛： 本题主要考查了利用均值不等式求最值， 及正弦定理和三角形面积公式的应用 构造乘积为定值，利用均值不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及构造 ．已知 : 锐角 的内角 的对边分别为 ,三边满足关系 求内角 的大小 ; 求 的取值范围 . 【答案】（ 1） （ 2 ） 【解析】分析： （ 1）由已知根据余弦定理可得 ∴ ∴ ∴ ∴ 点睛：本题考查利用余弦定理解三角形，以及三角函数的性质，属基础题 . ．已知函数 ． （ 1）求函数 的最大值 和最小值 ； （ 2） 为 的内角平分线，已知 ，求 【答案】 (1) . (2) . 【解析】分析： （ 1）由三角恒等变换的公式化简得 ，单调函 即可求解函数的最值； （ 2）在 和 ，由正弦定理得 ，再分别在 和 中，利 ∵ ， ， ， ， 中， ， 中， ， ，∴ ． 点睛：本题考查了解三角形的综合应用，高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． ．已知函数 . （ 1） 求 的 最 小 正 周 期 ； （ 2）在 中，角 的对边为 ，若 ， ， ，求 【答案】（ 1） ；（ 2） 【解析】分析： （ 1）由三角恒等变换的公式化简得周期； ，即可利 （ 2）由（ 1 ）和 ，求得 ，进而求得 的值， 在 中，由正弦定理中，由余弦定理即可求解 的长 . 详解：（ 1） 在 中 ，由余弦定理得 ∴ 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问 定理进行 “边转角 ”寻求角的关系，利用 “角转边 ”寻求边的关系，利用余弦定理借助三 法二：由题意，利用余弦定理化简得到 ，即 ，即可求解角 （ 2）法一：由余弦定理及基本不等式，得 ，进而得 周长的最大 变换的公式化简整理得 ，进而求解 周长的最 （ 2）法一：由余弦定理及基本不等式， ， 得 ，当且仅当 时等号成立， 故 周长 的最大值为 ． 法二：由正弦定理， ， 故周长 故周长 ， ∵ ，∴当 时，周长 的最大值为 ． 点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用， 个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用 7 ． 的内角 的对边分别为 ，已知 . （ 1）求 （ 2）若 ； 成等差数列，且 的周长为 ，求 的面积 . 【答案】（ 1） （ 2 ） 【解析】分析： （ 1）由 ,利用正弦定理可得 由两角和的正弦公式结合诱导公式可得 ,从而可得结果；（ 2）由可得 ，由余弦定理 利用三角形面积公式可得结果 . （ 2） 成等差数列， ，又 的周长为 ，即 . 【解析】分析： （ 1）由 ，根据正弦定理得 所以 ，从而可得结果； （ 2）由 ，可 ，可求得 ，由此以 ，从而可得结果 . （ 2）因为 ，所以 ， 所以 ， ， 或 解得： 因为 或 ，所以 所以， 所以 【答案】（ 1） ；（ 2 ） . 【解析】分析： （ 1）根据 ，得出 ，结合余弦定理即可求出 上的高 ；（ 2）设 ，根据 推出角 必为锐角，结合 为锐角三角 余弦定理即可求得 的取值范围，从而可得 的周长的取值范围 . （ 2）设 . ∵ ∴角 必为锐角 . ∵ 为锐角三角形 ∴角 ， 均为锐角，则 ， ，于是 ，解得 （ 1）求 ； （ 2）若 的中点， ，求 , . 【答案】 (1) ； (2) 或 . 【解析】分析： （ 1）把 用正弦定理化边为角，再化向量的数量积定义可求得 ，从而易得三角形面积； （ 2）由