数模 第4讲：拟合.pptx

2 / 19 第四讲:拟合算法 与插值问题不同，在拟合问题中不需要曲线一定经过给定的点。拟 合问题的目标是寻求一个函数（曲线），使得该曲线在某种准则下与所 有的数据点最为接近，即曲线拟合的最好（最小化损失函数）。 插值和拟合的区别 插值算法中，得到的多项式f(x)要经过所有样本点。但是如果样本点太多，那 么这个多项式次数过高，会造成龙格现象。 尽管我们可以选择分段的方法避免这种现象，但是更多时候我们更倾向于得到 一个确定的曲线，尽管这条曲线不能经过每一个样本点，但只要保证误差足够小即 可，这就是拟合的思想。 3 / 19 一个小例子 x y 4.2 8.4 5.9 11.7 2.7 4.2 3.8 6.1 3.8 7.9 5.6 10.2 6.9 13.2 3.5 6.6 3.6 6 2.9 4.6 4.2 8.4 6.1 12 5.5 10.3 6.6 13.3 2.9 4.6 3.3 6.7 5.9 10.8 6 11.5 5.6 9.9 找出y和x之间的拟合曲线 数据文件：data1.xlsx plot(x,y,o) % 给x和y轴加上标签 xlabel(x的值) ylabel(y的值) 4 / 19 代码文件:code1.m 注意：将数据导入到matlab时，我们是分别创建了两个变量：x和y，每个变量仅保存一列数据。 确定拟合曲线 5 / 19 最小二乘法的几何解释 第一种定义有绝对值，不容易求导，因此计算比较复杂。 所以我们往往使用第二种定义，这也正是最小二乘的思想。 6 / 19 求解最小二乘法 7 / 19 Matlab求解最小二乘 clear;clc load data1 plot(x,y,o) % 给x和y轴加上标签 xlabel(x的值) ylabel(y的值) n = size(x,1); k = (n*sum(x.*y)-sum(x)*sum(y)) /(n*sum(x.*x)-sum(x)*sum(x)) b = (sum(x.*x)*sum(y)-sum(x)* sum(x.*y))/(n*sum(x.*x)-sum(x) *sum(x)) hold on % 继续在之前的图形上来画图形 grid on % 显示网格线 f=@(x) k*x+b; fplot(f,[min(x)-1,max(x)+1]); legend(样本数据,拟合函数,location,SouthEast) 代码文件:code1.m 8 / 19 如何评价拟合的好坏 9 / 19 证明SST = SSE + SSR 10 / 19 计算拟合优度的代码 y_hat = k*x+b; % y的拟合值 SSR = sum((y_hat-mean(y)).^2) % 回归平方和 SSE = sum((y_hat-y).^2) % 误差平方和 SST = sum((y-mean(y)).^2) % 总体平方和 SST-SSE-SSR R_2 = SSR / SST 注： mean()是求均值的函数。 代码文件:code1.m 11 / 19 强大的曲线拟合工具箱 低版本的Matlab可以在命令窗口中直接输入”cftool” 12 / 19 拟合工具箱演示 13 / 19 14 / 19 自己模拟数据进行演示 （1）randi : 产生均匀分布的随机整数 %产生一个1至10之间的随机矩阵，大小为2x5； s1 = randi(10,2,5); %产生一个-5至5之间的随机矩阵，大小为1x10； s2 = randi([-5,5],1,10); （2） rand: 产生均匀分布的随机数 %产生一个0至1之间的随机矩阵，大小为1x5； s3 = rand(1,5); %产生一个a至b之间的随机矩阵，大小为1x5； % a + (b-a) * rand(1,5); 如 ：a,b = 2,5 s4= 2 + (5-2) * rand(1,5); normrnd:产生正态分布的随机数 %产生一个均值为0，标准差为2的正态分布的随机矩阵，大小为3x4； s5 = normrnd(0,2,3,4); roundn—任意位位置四舍五入 a = 3.1415 % ans = 3.1400 % ans = 0 roundn(a,-2) roundn(a,2) a =31415 roundn(a,2) % ans = 31400 代码文件:code2.m 自己模拟数据进行演示 代码文件:code3.m 15 / 19 优秀论文中的cftool运用 [2016年国赛高教杯奖D题]蚌埠士官学院‐风电场运行状况分析及优化研究.pdf 16 / 19 优秀论文中的cftool运用 淡水养殖池塘华发生及自净化研究.pdf 17 / 19 注意：这里不要用