数模 第13讲.奇异值分解SVD和图形处理.pptx

第十三讲:SVD和图形处理 2 / 29 奇异值分解（Singular Value Decomposition）是线 性代数中一种重要的矩阵分解，其在图形学、统计学、 推荐系统、信号处理等领域有重要应用。本讲我们将 介绍奇异值分解在图形压缩中的运用，并将简单介绍 下Matlab对于图形和视频的处理。 线性代数基础知识回顾 3 / 29 线性代数基础知识回顾 4 / 29 线性代数基础知识回顾 5 / 29 线性代数基础知识回顾 6 / 29 线性代数基础知识回顾 7 / 29 线性代数基础知识回顾 8 / 29 奇异值分解 9 / 29 奇异值分解的例子 10 / 29 U的计算 11 / 29 V的计算 12 / 29 的计算 13 / 29 SVD的证明思路 14 / 29 利用SVD对数据进行降维 注：这里所说的降维，更准确的来说是使得矩阵的秩减小，矩阵大小并未改变。 15 / 29 利用SVD对数据进行降维 SVD 降维体现在什么地方？ 感觉即使把分解的三个矩阵变小，可乘回去整个矩阵并没有小。 /question 16 / 29 保留原矩阵的特征比例 17 / 29 Matlab进行奇异值分解：[U,S,V] = svd(A) % A : 3*4 A = [4 0 1 6;0 0 5 1;2 1 3 2] [U,S,V] = svd(A) % 注意：U*S*(V的转置) == A % U:3*3 S：3*4 V ： 4*4 U*S*V - A % 因为浮点数计算的缘故，所以会有非常微小的偏差 % 1.0e-14 * 0.2665 = 0.000000000000002665 U(:,1:2)*S(1:2,1:2)*V(:,1:2) U(:,1:3)*S(1:3,1:3)*V(:,1:3) % 就是A PPT_example.m 18 / 29 定义我们自己的mysvd函数 function [compress_A] = mysvd(A, ratio) % 函数作用：使用奇异值分解将矩阵A压缩到指定的特征比例 % 输入变量 % A：要压缩的m*n维的矩阵 % ratio：(至少)要保留原矩阵的特征比例（100%表示不压缩） % 输出变量 % compress_A：压缩后的矩阵 mysvd.m 19 / 29 Matlab图形的处理 Matlab软件实操的步骤见视频讲解 (课下根据代码的注释复习) 20 / 29 RGB模式 RGB色彩就是常说的三原色，R代表Red（红色），G代表Green（绿色），B 代表Blue（蓝色）。自然界中肉眼所能看到的任何色彩都可以由这三种色彩 混合叠加而成。 计算机定义颜色时R、G、 B三种成分的取值 范围是0‐255，0表示没有刺激量，255表示 刺激量达最大值。R、G、B均为255时就合 成了白光，R、G、B均为0时就形成了黑色。 如果一张图片的R、G、B三原色完全相同， 那么这张图片我们就称为灰色图片；否则我 们称这张图片为彩色图片。 计算机在显示图片时，将图片分成了特别小 的像素点，每一个像素点处，分别显示其R、 G、B三原色的叠加结果。 21 / 29 图片压缩的函数 function []= photo_compress(photo_address, save_address, ratio, greycompress) % 函数作用：利用SVD函数对图形进行压缩 % 输入变量 % photo_address：要压缩的图片存放的位置（建议输入完整的路径） % save_address：将压缩后的图片保存的位置（建议输入完整的路径） % ratio：要保留原矩阵的特征比例（100%表示不压缩） % greycompress: 如果该值等于1，则会彩色的原图片转换为灰色图片后再压 缩；默认值为0，表示不进行转换 % 输出变量 % 无（不需要输出，因为函数运行过程中已经将图片保存了~） 22 / 29 photo_compress.m SVD压缩后的效果 50% 23 / 29 90% 原图 70% SVD压缩后的效果 上左：原图 上右：压缩图（80%特征） 左：转换为灰色后再压缩（80%特征） 24 / 29 清风数学建模算法讲解全套视频，单人购买观看仅需58元 将视频分离为图片 Photo=read(video,i); imwrite(Photo,image_name); %读出所在帧的图片对象 %将图片保存到指定的位置 end % 注意：Matlab对视频的要求较高，