菱形(基础)知识讲解.pdf

菱形（基础） 【学习目标】 1. 理解菱形的概念 . 2. 掌握菱形的性质定理及判定定理． 【要点梳理】 要点一、菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 . 要点诠释： 菱形的定义的两个要素：①是平行四边形 .②有一组邻边相等 .即菱形是一个平行 四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件 . 要点二、菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 . 3. 菱形也是轴对称图形， 有两条对称轴 （对角线所在的直线） ，对称轴的交点就是对称中心 . 要点诠释： （1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形， 过中心的任意直线可将菱形分 成完全全等的两部分 . （2 ）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另 一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和） .实际上，任何一个对角线 互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半 . （3 ）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题 . 要点三、菱形的判定 菱形的判定方法有三种： 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 . 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 . 3.四条边相等的四边形是菱形 . 要点诠释： 前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 后一种方法是 在四边形的基础上加上四条边相等 . 【典型例题】 类型一、菱形的性质 1、（2016 ?广安）如图，四边形 ABCD 是菱形， CE ⊥AB 交 AB 的延长线于点 E，CF ⊥AD 交 AD 的延长线于点 F，求证： DF=BE ． 【思路点拨】 连接 AC ，根据菱形的性质可得 AC 平分∠ DAE ，CD=BC ，再根据角平分线的 性质可得 CE=FC ，然后利用 HL 证明 Rt△CDF ≌Rt△CBE ，即可得出 DF=BE ． 【答案与解析】 证明：连接 AC ， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠ DAE ，CD=BC ， ∵CE ⊥AB ，CF⊥AD ， ∴CE=FC ，∠ CFD= ∠CEB=90 °． 在 Rt△CDF 与 Rt△CBE 中， ， ∴Rt △CDF ≌Rt△CBE （HL ）， ∴DF=BE ． 【总结升华】 此题考查了菱形的性质， 角平分线的性质， 关键是掌握菱形的两条对角线互相 垂直， 并且每一条对角线平分一组对角； 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的 距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质． 举一反三： 【变式 1】（2015?温州模拟）如图，在菱形 ABCD 中，点 E 是 AB 上的一点，连接 DE 交 AC 于点 O ，连接 BO ，且∠ AED=50°，则∠ CBO= 度． 【答案】50； 解：在菱形 ABCD 中， AB ∥CD ，∴∠ CDO= ∠AED=50°， CD=CB ，∠ BCO= ∠ DCO ， ∴在 △BCO 和 △DCO 中， ， ∴△ BCO ≌△ DCO （SAS ）， ∴∠ CBO= ∠CDO=50° ． 【变式 2 】菱形 ABCD中，∠ A ∶∠B＝1 ∶5，若周长为 8 ，则此菱形的高