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反常二重积分 一、无界区域上的二重积分 与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常 二重积分作如下定义． 定义 1 设 D 是平面上一无界区域，函数 f (x , y) 在 D 上有定义， 用任意光滑或分段光滑曲线 C 在 D 中划出有界区域 f (x , y )d 如图 1 所示．若二重积分 DC 存在， 且当曲线 C 连续变动，使区域 DC 以任意过程 无限扩展而趋于区域 D 时，极限 lim f ( x , y )d DC D DC 图 1 f ( x, y )d 都存在且取相同的值 I ，则称反常二重积分 D 收敛于 I ，即 f (x, y )d lim f ( x, y )d D C D D = DC = I f (x, y)d 否则，称 D 发散． 对于一些特殊的无界区域 D ，其上的二重积分如果存在，则它们 有特殊的计算途径和表示方式． 1． D {( x, y) | a x b,c y } b M b f (x, y )dxdy lim dx f (x, y) dy dx f (x , y )dy M D = a c = a c M b b f (x, y)dxdy lim dy f ( x, y )dx dy f ( x, y)dx M 或 D = c a = c a 2． D {( x, y) | a x ,c y } M N f (x, y)dxdy Nlim dx f ( x , y)dy dx f (x , y ) dy a c D = M = a c N M f (x, y)dxdy lim dy f ( x, y)dx M c a dy f (x, y)dx 或 D = N