春季五年制小学奥数四年级数论问题——余数.pdf

数论问题—余数 一、带余除法的定义及性质 一般地，如果 a 是整数， b 是整数 (b≠0)，若有 a÷b ＝q…… r ，也就是 a ＝b×q＋r 。 0 ≤r ＜ b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。 这里： ⑴当 r＝0 时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商。 ⑵当 r ≠0时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商。 二、余数定理： 1．余数一定要比除数小。 2 ．余数的加法定理 例如： 23 ÷5＝4 …… 3 16÷5＝3 …… 1 所以 23＋ 16＝39 除以 5 的余数等于 4 ，即两个余数的和 3 ＋ 1。 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以 c 的余数。 例如： 23 ÷5＝4 …… 3 19÷5＝3 …… 4 所以： 23 ＋ 19＝42 42 ÷5 的余数等于 3 ＋4 ＝7 除以 5 的余数，即 2 。 和的余数＝余数的和 (的余数 ) 。 3 ．余数的乘法定理 a 与 b 的乘积除以 c 的余数， 等于 a，b 分别除以 c 的余数的积， 或者这个积除以 c 所得的余数。 例如： 23 ÷5＝4 …… 3 16÷5＝3 …… 1 所以 23 ×16 除以 5 的余数等于 3 ×1＝3 。 例如： 23 ÷5＝4 …… 3 19÷5＝3 …… 4 所以 23 ×19 除以 5 的余数等于 3 ×4 除以 5 的余数，即 2 。 积的余数＝余数的积 (的余数 ) 。 例 1 有两个自然数相除， 商是 17，余数是 13 ，已知被除数、 除数、商与余数之和为 2113，则被除数是多少？ 例 2 一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数 是_________ 。 例 3 22003 与 20032 的和除以 7 的余数是 ________ 。 例 4 2 2 2 2 2 1 ＋2 ＋3 ＋…＋ 2001 ＋2002 除以 7 的余数是多少？ 例 5 在 1995， 1998，2000 ，2001，2003 中，若其中几个数的和被 9 除余 7 ，则将这几个数归为一组。这样 的数组共有 ______组。 例 6 六名小学生分别带着 14 元、 17 元、 18 元、21 元、26 元、37 元钱， 一起到新华书店购买 《成语大词典》。 一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本。这种《成语大词典》的定价是 ________元。 测试题 1．两数相除，商 4 余 8 ，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是多少？ 2．一个两位数除以 13 的商是 6 ，除以 11 所得的余数是 6，求这个两位数。 3．求 478 ×296 ×351 除以 17 的余数。 4 ．商店里有六箱货物，分别重 15， 16，18，19，20 ，31 千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个 顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是 ________ 千克。 5． 777 77 除以 41 的余数是多少？ 1996个 7 6．六张卡片上分别标上 1193、 1258、 1842、 1866、1912、24