模糊数学理论基础.pdf

第四章：模糊数学理论基础。主要是对本文所需要的模糊数学的知识进行了介 绍。首先对模糊集的诞生和发展的历史背景、 目的和意义进行了论述； 接着给模 糊集的定义及其表示方法； 紧接着介绍了模糊集的隶属函数的定义及确定隶属函 数的方法；最后引入了目前比较热门的概念模糊熵及其性质。 对这些知识的了解， 将有助于我们自觉地或不自觉地应用到图像处理中去。 第四章 模糊数学理论基础 传统的信息处理方法建立在概率假设和二态假设 (Probality Assumption ＆Binary —State Assumption) 的基础上。概率假设使传统的数学应用范围从确 定性现象扩展到随机现象， 二态假设对应了人类的精确思维方式。 但自然界客观 存在的事物除了可以精确表示之外，还存在着大量的模糊现象，如“年轻人” 、 “高个子”等，究竟多大年龄之间算“年轻” ，多高个子为“高个子”，这是人们 观念中的模糊的概念，模糊 (Fuzzy) 概念由此产生。模糊性也就是生活中的不确 定性。实际上客观事物的不确定性除了随机性外， 模糊性也是一种不确定性。 所 谓模糊性是指事物的性质或类属的不分明性， 其根源是事物之间存在过渡性的事 物或状态，使它们之间没有明确的分界线。 在自然科学中，人们长久以来习惯于追求精确性，总希望把事物以数学方 式描述出来，然而，面对模糊现象，传统的数学方法遇到了实质性的困难。但对 于人的大脑而言， 它具有很高的模糊划分、 模糊判断和模糊推理的能力， 而且人 们为了表达和传递知识所采用的自然语言中已巧妙地渗透了模糊性， 并能用最少 的词汇表达尽可能多的信息。但是，对于计算机来说，无论它怎样发展，总无法 达到人脑的境界， 所以，用计算机来处理模糊信息， 就需要一种能够将模糊语言 形式化的工具，用数学的方式处理这种模糊性。 L ．A．Zade 提出的模糊集概念将一般的集合以隶属函数的概念推广到模糊 集。为模糊数学的发展与成熟奠定了深厚的基础。 模糊集理论的出现引起了数学 界和科技工程界的极大兴趣并对其进行了广泛深入的研究， 理论成果和应用成果 不断出现， 从而创建了一门新的科学——模糊数学。 模糊集理论是对一类客观事 物和性质更合理的抽象和描述， 是传统集合理论的必然推广。 模糊数学的一个重 要特点，就是让数学反过来吸收人脑的模糊识别和判决特点， 并将之运用于计算 机，使部分自然浯言能够作为算法语言直接进入程序， 使人们能够以简易的程序 来调动机器完成复杂的任务，从而大大提高机器的灵活性。 4.1 模糊集的诞生及其发展情况 十九世纪晚期，德国数学家 Cantor 系统地研究了集合理论，创立了崭新的 集合论， 此后，许多数学家对集合论进行了深入研究， 从而产生了许多新的理论 基础分支体系，如微积分、概率论、抽象代数、拓扑学等等。 Cantor 对集合的 定义是描述性的， 他认为一个性质决定一个集合， 所有满足该性质的个体称为该 集合的元素。 但是， 在现实生活中， 并不是所有的个体都可以用属于或不属于某 个集合来划分， 有很多个体， 它们的性质可能具有不确定因素，