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§5.3 合同 一次同余式 ;引入;引入; ; ;合同的根本性质 ;合同的根本性质 ;合同的根本性质 ;合同的根本性质 ;例.证明:正整数n是3的倍数 iff
n的各个数字之和是3的倍数。
证明:设n=ak10k+ak-110k-1+…+a110+a0
因为10?1(mod 3),由性质8得
10i?1(mod 3),由性质7得
ai 10i? ai (mod 3)
故由性质4得
n=ak10k+ak-110k-1+…+a110+a0
? ak+ak-1+…+a1+a0 (mod 3)
因此,3|n iff n ?0 (mod 3)
iff ak+ak-1+…+a1+a0 ?0 (mod 3) ;合同的根本性质 ;合同的根本性质 ;合同的根本性质 ;结论:假设(c,m)=d,那么(c/d , m/d)=1
①证明:反证法,假设(c/d , m/d)=d’不是1,即d’ 1 , 那么d’|c/d ,dd’|c ,并且d’|m/d ,dd’|m ,得到 dd’为c,m的公因数,那么dd’|d ,即d’|1,矛盾。;合同的根本性质;合同的根本性质 ;;剩余类 一次同余式 ;剩余类 一次同余式 ;剩余类 一次同余式 ;同余式 ;同余式 ;同余式;定理;定理;定理;求解一次合同方程的方法 ;求解一次合同方程的方法;求解一次合同方程的方法;求解一次合同方程的方法;求解一次合同方程的方法;对于一些例子,使用这种方法是比较快的。比方,解合同
式4x?1(mod 15)。因为 1?16(mod 15),
所以4x?4×4(mod 15),
因为4与15互质,由合同的性质10知,合同式两边可以消
去4,得到 x?4(mod 15)。 ;例. 解合同式14x?27(mod 31)。
解:
28x?54(mod 31)
31x?0(mod 31)
故 3x?-54(mod 31)
x?-18(mod 31) ?13(mod 31)
还可以:
14x?58(mod 31)
7x?29(mod 31)
7x?91(mod 31)
x?13(mod 31);;;例. 解合同式6x?15(mod 33)。
解:(6,33)=3 而 3|15 , 因此上述合同式有3个解。
先求2x ?5(mod 11)的解。
2x ?16(mod 11) x ?8(mod 11)
原合同式有3个解:8,8+11,8+22
即x?8(mod 33), x?19(mod 33), x?30(mod 33);总结;作业:;会把任意两个整数的最高公因数表示成倍数和形式
掌握几种类型图不是H图
① Cm,n ;
②当m?n 是非Hamilton图
③ 是非Hamilton图
会求解一次同余式;关系的性质总结;习题1.2-6、假设非空关系R是反自反的,是对称的,??证明R不是传递的。
证明:反证法:假设R是传递的,对于任意(a,b)?R,因为R是对称的,所以(b,a)? R,那么有(a,a)? R,这与R是反自反的矛盾,故假设不成立,原结论成立。
习题1.2-7、集合A上的关系是对称的,反对称的,试指明关系R的结构。解:IA的任意子集。
例:集合A有n个元素,那么A上有多少个即具有对称性有具有反对称性的关系? 2n;设R是集合A上的等价关系,证明:R2=R。
证明:因为R是等价关系,所以R具有传递性,故R2?R;下面证明R?R2,任取(x,y)?R,因R等价关系,所以R具有自反性,那么有(y,y)?R,因(x,y)?R,(y,y)?R,所以(x,y) ?R·R,即(x,y)?R2。因此R?R2。综上,R2=R。证毕。;求G=?(R?P)?(Q?(P?R))的主析取范式
G =?(R?P)?(Q?(P?R))
=?(?R ? P)?(Q ? P)?(Q ? R)
=(?P ? R)?(P ? Q)?(Q ? R)
=((?P?R)?(?Q?Q))?((P?Q)?(?R?R))
?( (Q?R)?(?P?P))
=(?P?Q?R) ?(?P??Q?R) ?(P
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