普通高中数学竞赛二试试题答案(B卷).pdf

个人收集整理 仅供参考学习 2008 年全国高中数学联合竞赛加试（ B 卷） 试题参考答案 说明： 1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准地评分档次给分； 2．如果考生地解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分， 10 分为一个档次，不要增加其他中间档次． b5E2RGbCAP 一、 （本题满分 50 分） 如题一图， ABCD 是圆内接四边形． AC 与 BD 地交点为 P E EP DC F ， 是弧 AB 上一点，连接 并延长交 于点 ，点 G, H 分 别 在 CE ， DE 地 延 长 线 上 ， 满 足 E A G F A D， EBH FBC ，求证： C , D , G, H 四点共圆． p1EanqFDPw [ 证] 由已知条件知 FAG FAE EAG FAE FAD DAE ． 又 DAE DCE 180 ， 题一图 所以 FAG DCE 180 ， 从而 A , F , C ,G 四点共圆，此圆记为 1 ． 同理可证： B, F , D , H 四点共圆，此圆记为 2 ． 点 E 在圆 1 ， 2 内．延长 FE 与圆 1 相交于点 I ，则 IP PF AP PC DP PB ， 故 B, F , D , I 四点共圆． 所以 I 在 BFD 地外接圆上，故 I 在 2 上． 再用相交弦定理： EC EG EF EI ED EH ， 故 C , D ,G , H 四点共圆． 答一图 二、 （本题满分 50 分） 求满足下列关系式组 2 2 2 x y 2z , z y z 50, 地正整数解组 (x, y ,z) 地个数． 1 / 6 个人收集整理 仅供参考学习 [解 ] 令 r y z ，由条件知 0 r 50 ，方程化为 2 2 2 2 2 2 x (z r ) 2z ，即 x 2zr r z ． （1） 因 y z r 0 ，故 2 2 2 2 2 z x y z x ，从而 z x ． 设 p z x 0 ．因此（ 1）化为 2 2 2zp p 2zr r 0 ． （2 ）