高考数学一轮复习课后限时集训47立体几何中的向量方法理北师大版.docx

PAGE PAGE # 课后限时集训47 立体几何中的向量方法 建议用时：45分钟 ［▲组葛础巩固练］ 、选择题 1 1 .若直线I 的方向向量与平面 a的法向量的夹角等于 120°,则直线I与平面a所 成的角等于（ A.120°B. 60°C.30°D. 60° 或 30 A. 120° B. 60° C. 30° D. 60° 或 30° ［设直线 I与平面 a所成的角为 卩,直线I与平面 的法向量的夹角为 y ?则sin 卩=|COS Y I = |cos 120 1 1 = 2. 又 O°W 卩 90°,.?.卩=30° .] 2.在正方体 ABCD-ABCDK AC与 BD所成角大小为 nb.tn n b.t A.y nc.tn n c.t D?一 2 D ［建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为 1, A(0,0,0), C(1,1,0) , B(1,0,1) , D(0,1,0). --AC= (1,1,0), B D= ( — 1 , 1，— 1), 1Z 儿【 n / 4 i ———— ￡ / U y J B c 则 ?/ AC- BD =1X ( — 1) + 1X 1 + 0X ( — 1) = 0, — — n ??? ACLBD, ??? AC与 BD所成的角为 y.] 3.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 2CB则直线BC与直线AB夹角的余弦值为 A逅 A. 5 bF ABCABC, CA= CC= d.3 A [设 CA= 2,贝U 00,0,0) , A(2,0,0) ,巳0,0,1) , C(0,2,0) ,B(0,2,1),可得向量AB =(—2,2,1) , BC = (0,2 , — 1),由向量的夹角公式得 cos 〈 AB, BC —2X 0+ 2X 2+ 1X — 1 1 5i * /0+ 4+ 1 - *(4+ 4 + 1 土 氏 5 .] 4.则直线在直三棱柱 ABGABC 中，AB= 1, AC= 4. 则直线 在直三棱柱 ABGABC 中，AB= 1, AC= 2, BC=J3, D, DE与平面BBCC所成的角为（ ） E分别是AG和BB的中点, A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° ［由已知AB+ BC= AC,得 ［由已知AB+ BC= AC,得AB! BC以B为原点，分别以 BA BB所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所 示，设AA= 2a,则 A(0,1,0) , C .3, 0,0), D三 2 ,E(0,0 , a)，所以 ED= -2 (0,1,0), BC I /J A h 1 2，0，平面BBCC的一个法向量为 n = cos〈 EDnED- n cos〈 ED n ED- n 冋n| 1 2 ■. -3 2 1 2 2 专 + J + °C 1 f 2,〈 ED n= 60°，所以直线 DE 与平面BBCC所成的角为30° .故选A.］5.如图，在四棱锥 P-ABCD^，四边形 与平面BBCC所成的角为30° .故选A.］ 5.如图，在四棱锥 P-ABCD^，四边形 ABC助平行四边形，且 BC 丄平面PAB PAL AB M为PB的中点，PA= AD= 2.若AB= 1，则二面 角B AG M的余弦值为（ ） bF w B C. A ［因为BC丄平面PAB PA 平面PAB所以PAL BC又PAL AB 且 B8 AB= B,所以 PA!平面 ABCD 以点A为坐标原点，分别以AB AD AP所在直线为x轴，y轴, z轴，建立空间直角坐标系 A- xyz. 则 A(0,0,0) , C(1,2,0) , P(0,0,2) , B(1,0,0) , M* , 0 , 1 , 所以XC= (1,2,0) , AM= 1 , 0 , 1 , 求得平面AMC勺一个法向量为n= （ — 2,1,1）, 又平面ABC勺一个法向量AA (0,0,2),所以 cos〈 n 又平面ABC勺一个法向量AA (0,0,2), 所以 cos〈 n, AP〉= n ? AP I n|| Ap —2 3 * *—=26 ：4+ 1 + 1X2 .-6 6 所以二面角BAGM的余弦值为￡.] 、填空题 6.在正四棱柱 ABGDABGD 中，AA= 2AB 贝U GD与平面 BDG所成角的正弦值等于 2 一 一 3 [以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设 AA = 2AB= 2,则 D(0,0,0) , C(0,1,0) , 01,1,0), G(0,1,2)，则 DG= (0,1,0) , DB= (1,1,0) , DC= (0,1,2). 设平面BDG的法向量为n= (x, y, z), n ? DB=