工科数学分析第十章.pptx

一、函数序列的一致收敛 定义2.1 函数序列的一致收敛 一个问题 例1. 只要取 研究下列函数序列的收敛性. 解：易见 函数序列的一致收敛 例2. 研究下列序列的收敛性. 解：易见 函数序列的一致收敛 定义2.2 函数序列的一致收敛 一致收敛的几何解释: 一致收敛的几何解释 证明： 反之， 定理2.1 函数列一致收敛的等价条件 例3. 证明： 函数序列的一致收敛 定理2.2 证明: Cauchy收敛原理 例4. 解： 一致收敛 故在(0,1)上不一致收敛. 函数序列的一致收敛 函数序列的一致收敛 二、函数项级数的一致收敛 定义3.1 定理3.1(柯西收敛原理) 函数项级数的一致收敛 推论3.1 逆否命题: 例5 解: 故级数在(0,+∞)上不一致收敛! 由于 函数项级数的一致收敛的必要条件 例6 证明： (1)因为 利用例6结论的逆否可得， 不一致收敛．(由于它们在相应的闭区间是不一致收敛的)-----由逆否命题可得到。 三、一致收敛的判别 证明： 定理3.2(Weirstrass判别法) 则由Cauchy收敛定理， 进一步由已知条件， M-判别法或优判别法 函数项级数一致收敛的判别法 优级数,强级数,控制级数 例7 解： 例8 解： Weistrass M-判别法 证明： 例9 由本节例5可知， 说明： ⑴ 使用M判别法，要求： 这种要求过强 ⑵ 存在一致收敛级数，但不绝对收敛； 存在级数绝对收敛，且一致收敛，但 反例见课后习题！ 四、 定义3.2 定义3.3 函数列的一致有界性 例10 讨论下面序列是否一致有界. 因此该序列一致有界. 矛盾！ 解： 但不一致有界. (1) (2) 证明： 定理3.3(Dirichlet判别法) Dirichlet判别法 由柯西收敛原理， 证毕! 例11 证明： 即部分和序列一致有界， 定理3.4(Abel判别法) 类似定理3.3可证，这里从略. 例12 解： 五、本节小结 3. 一致收敛性的M判别法, Dirichlet判别法, Abel判别法. 1. 函数列的一致收敛定义； 2. 函数项级数的一致收敛定义； 本节作业 习题10.2 1（1）（3），2 习题10.3 1(1)(3)(5)(7), 2, 3, 4, 5 ,6