吉林大学2020– 2021学年第一学期《高等数学CI》试卷.docVIP

PAGE (共 6 页 第 PAGE 1页) 吉林大学2020– 2021学年第一学期《高等数学CI》试卷 2020年1月13日 一 二 三 四 五 总分 得 分 得 分 选择题（共6道小题，每小题 3分，满分18分）. 1．当时，与是等价无穷小，则（ A）. (A) (B) (C) (D) 2．函数在点存在二阶导数，则（ D ）. (A) (B) (C) (D) 3．设曲线与在点处有公共切线，则的值分别为（ B ）. (A) (B) (C) (D) 4．设在点附近有二阶连续导数，且,则（ C）. (A) ，但是曲线的拐点 (B) ，且是的极小值 (C) ,且是曲线的拐点 (D) ，且是的极小值 5．曲线与轴所围成平面图形的面积为（ B ）. (A) (B) (C) (D) 6. 下列反常积分中发散的是（ D ） 得 分 (A) (B) (C) (D) 得 分 二、填空题（共6小题，每小题 3分，满分18分）. 1．若则_2________. 2．由方程确定，则_________. 3．曲线的拐点为____(1,3)________. 4．若, 则= _________. 5．= ____4_____. 6．函数的极小值点为 . 得 分 得 分 解答题（共7道题，每小题7分，满分49分）. 1．已知函数由方程 确定，求，. 解： ……（2分） ……（4分） ……（7分） 2．证明当时, . 证明：令 ……（3分） 当时，，函数单调递增……（5分） 当时，，即 ……（7分） 3．求. 解：令……（2分） 4．求. 解. 令 = 5．已知在点有二阶导数,试确定常数的值. 解：在处有二阶导数，则在处连续，且一阶可导. 在处连续，可得,……（1分） ……（3分） ……（5分） ……（7分） 6．求. 解. == == = = = = 7. 设某商品的需求量Q是单价P(单位:元)的函数: Q = 12000－80P;商品的总成本C是需求量Q的函数: C = 25000 + 50Q; 每单位商品需要纳税2元, 试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额. 解. 设利润为L(p), 则 , 所以 p = 101 , 所以, 所以p = 101时L(p)达到极大, 也达到最大. 即p = 101时销售利润最大. 此时 (元) 得 分 四、（本题满分9分 ）是由所围成的平面图形；是由所围成的平面图形，其中. (1) 分别求绕轴旋转一周所生成的旋转体体积和绕轴旋转一周所生成的旋转体体积; (2) 问为何值时，最大，并求其最大值. 解：（1） （2） 得 分 得 分 五、（本题满分6分）设在上连续,在内可导,且满足,证明至少存在一点,使得 . 证明：令 即……（6分）