选修21空间向量知识点归纳总结.pdf

第三章 空间向量与立体几何 1. 空间向量的概念 ：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的 向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样， 空间向量的加法、 减法与数乘运算如下 （如图）。 uuur uuur uuur r v uuur uuur uuur r r uuur r OB OA AB a b ; BA OA OB a b ; OP a( R) 运算律：⑴加法交换律： a b b a ⑵加法结合律： (a b) c a (b c ) ⑶数乘分配律： (a b ) a b 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量 也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作 a // b 。 当我们说向量 a 、b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、b 的有向线段所在的直线 可能是同一直线，也可能是平行直线。 b b 0 b λ （2 ）共线向量定理： 空间任意两个向量 a 、 （ ≠ ），a // 存在实数 ， 使 a ＝ λb 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 r r r r r （2 ）共面向量定理：如果两个向量 a ,b 不共线， p 与向量 a, b 共面的条件是 r r r 存在实数 x, y 使 p xa yb 。 r r r r 5. 空间向量基本定理： 如果三个向量 a ,b,c 不共面，那么对空间任一向量 p ， r r r r 存在一个唯一的有序实数组 x, y, z ，使 p xa yb zc 。 r r r r r r r r r 若三向量 a,b,c不共面，我们把 { a ,b,c} 叫做空间的一个基底， a ,b ,c 叫做基向 量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设 O , A, B,C 是不共面的四点，则对空间任一点 P ，都存在唯一的三个 uuur uuur uuur uuur 有序实数 x, y, z ，使 OP xOA yOB zOC 。 6. 空间两向量的夹角： 已知两个非零向量 、 ，在空间任取一点 O，作 ， （两个向量的起点一定要相同） ，则叫做向量 与 的夹角，记 作 ，且 。 7. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系