第五章：积分方程PPT课件.ppt

* § 5 积分方程法 §5. 4 迭代解法 将迭代解法表示为更为抽象的算子形式 注意到虽然K是积分算子，但I不是。当K在某种意义下“小” ，则我们可以将其展开为 因为已经要求当K作用在V中的任何元素上时产生V中的另一个元素，所以可把 K n 简单定义为K的连续作用： 若算子方程 的逆存在，则问题在形式上就解决 了。此时 * § 5 积分方程法 §5. 4 迭代解法 对于K的这个限制并不是无关紧要的，因为一些看上去合理的算子，当它作用在V上时，所产生的客体不在V中。例如：考虑在[0,1]上定义的单变量的平方可积函数空间L2[0,1]，将算子d / d x作用在这个空间上，显然， 是属于L2[0,1]空间的，但 不属于L2[0,1]，因此 d / d x 不能把L2[0,1]空间中的每一个元素变换成同一空间中的另一个元素，所以对我们的要求来说，它不是可允许的算子。 * § 5 积分方程法 §5. 4 迭代解法 收敛时，它就是方程 的解。上述级数式，数学家称为诺依曼级数，而物理学家称为波恩级数，因为正是马克思波恩首先在量子力学中运用了基本迭代的想法。 假设 的右边“收敛”(收敛上的引号 是因为还没对算子的收敛性仔细加以定义)因此它收敛所趋近的 算子是(I -K )的逆算子，这是因为将(I -K )从任意一边去乘 都给出I ，因此我们猜测，当级数 * 则可以证明：当 ，那么由 § 5 积分方程法 §5. 4 迭代解法 假设: a) 级数解 收敛的条件： b) 在[a ,b ]内， 有界，即 c) 存在，且等于一个有限的常数C. 表示的诺依曼级数就收敛。但这绝不意味着要使诺依曼级数 收敛，M就必须小于 。很容易构造出一些核，对于 M大于 但它的诺依曼级数仍然收敛。即该条件是 保障诺依曼级数收敛的充分非必要条件。 * § 5 积分方程法 §5. 5 弗雷德霍姆解法 求解积分方程 用弗雷德霍姆方法，可以得到上述方程一个更完善的级数解 。 通过细分积分区间 ，用求和代替积分，解得到 的代数方程，然后讨论无限多的细分的极限，结果得到积分方程 的解为 其中 被称为解核，是两个无穷级数的比 * § 5 积分方程法 §5. 5 弗雷德霍姆解法 其中 而 的定义为 其中，行列式 * § 5 积分方程法 §5. 5 弗雷德霍姆解法 其中，行列式 的定义为 可以证明 弗雷德霍姆解法的重要性在于其是收敛的，而不像诺依曼级数 常是发散的，本征值可通过分母函数 求得。 * § 5 积分方程法 §5. 5 弗雷德霍姆解法 例. 求解方程 其中 是已知函数，而 解：此处核为 ，故由式 有 * § 5 积分方程法 §5. 5 弗雷德霍姆解法 再利用式 可计算出 ， 从而 * § 5 积分方程法 §5. 5 弗雷德霍姆解法 故由式 有 代入解核公式得 将此结果代入原方程即得需求解方程的解为 数学物理方法概论 之——（积分方程法） 主讲教师：白璐 联系电话Email