第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程的解法PPT课件.ppt

* 解 代入得 原方程通解为 例10 * 解 例11 是对应齐次方程的通解,但没有原方程的特解, 故(B)也不对； 二阶非齐次线性微分方程 * * 解 例12 求导， 原方程改写为 再求导， * 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入得 * 初始条件: * 练习： P394 习题九 * 对应齐次方程 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 (1) (2) 1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 那么方程(1)的通解为 * 问题归结为求方程(1)的一个特解. 只讨论 f (x) 的两种类型. 用待定系数法求解. 对应齐次方程 二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法 (1) (2) 那么方程(1)的通解为 定理2 * 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . — 待定系数法 * 则 * 情形1 若 r 不是特征根, 即 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 * 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 * 综上讨论 设特解为 其中 * 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例4 代入原方程,得 * 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程， 原方程通解为 例5 得 * 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例6 代入方程, 得 * 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 例6 注意： 现即 即得 这样比代入原方程要简便得多。 * 解 例7 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 * 此时原方程的通解为 * 可以证明,方程(1)具有如下形式的特解: * 解 例8 所求通解为 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程,得 * 解 例9 所求通解为 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入原方程,得 * 例10. 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p ≠ k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程④之解为 第5节例6 (P354)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入④可得: ④ * 当干扰力的角频率 p ≈固有频率 k 时, 自由振动 强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入④可得: 方程④的解为 * 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 . 可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动 强迫振动 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有 利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. * 定理3 (非齐次线性方程的叠加原理) 和 的特解, 的一个特解, * 例10 解 代入得