吉林大学2016~2017学年第二学期《高等数学BⅡ》试卷.docVIP

（共 6 页 第 PAGE 4 页） 吉林大学2016~2017学年第二学期《高等数学BⅡ》试卷 2016年6月28日 题号 一 二 三 总 分 得分 得 分 一、单项选择题（共6道小题，每小题3分，满分18分） 1．二元函数在处（ C ）． （A）连续，偏导数存在； （B）连续，偏导数不存在； （C）不连续，偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在． 2．设是锥面在的部分，则( D )． （A）； （B）； （C）； （D）． 3．设，则改变积分次序后（C ）． （A）． （B）． （C）． （D）． 4. 函数的极大值点为( A )． （A）； （B）； （C）； （D）. 5．设空间区域，则积分( B ) ． （A）； （B）； （C）； （D）． 6．若是方程的两个解，要使也是该方程的解，应满足关系式 ( D)． （A）； （B）； （C）； （D）． 得 分 二、填空题（共6道小题，每小题3分，满分18分） 1．函数在点处的方向导数的最大值等于． 2．设，则 　 ． 3．设曲线L为下半圆，则． 4．设，当常数满足条件 时，级数收敛． 5．设L为封闭折线正向一周，则 0 ． 6．设是周期为的周期函数，它在上的表达式为 则的Fourier级数在处收敛于 ． 得 分 三、计算题（共8道小题，每小题8分，满分64分） 1．求空间曲线在点处的切线方程和法平面方程． 解 方程组两端同时对求导，得 ………………………………………….2分 解得 ………………………………………4分 故切线方程为 …………………………..…..6分 法平面方程为 ………………………..……8分 2．设，其中f具有二阶连续偏导数，求． 解：． 　　……（３分） ……（6分） ………………　　…（8分） 3．将函数在点展成幂级数. 解： （．解得交集） 4．求函数在半圆域上的最大值和最小值. 解 先求区域D内部的驻点，由得,该点在边界上. .2分 再求区域边界上的驻点. 在边界上，令，解方程组 得，该点函数值 …… ….5分 在边界上，函数，此时函数最大值最小值.…… ….7分 综上，函数在区域D上的最大值最小值. … ….8分 5．求幂级数的收敛域及和函数． 解 解：，所以该幂级数的收敛半径，而，故 时，该幂级数发散，从而幂级数收敛域为（-1，1）． 　　…………（3分） 设和函数为，有，其中 ．…………（5分） 再设，在（-1，1）内逐项求导，得， 于是 ，　　 …………（7分） 故 ． 　　…………（8分） 6. 计算，. 解 = ……（4分） = = ……（6分） = = . ……（8分） 7. 计算，其中：（），取上侧． 解 解：补曲面，取下侧， 　　…………（2分） 据高斯公式， ， 　　…………（4分） ， 　　　　　　…………（6分） 又　　 ， 　　　　 　　　………（7分） 所以．　　……（8分） 8.已知曲线经过原点，且在原点的切线平行于直线，而满足微分方程，求此曲线的方程. 解 方程的特征方程为 解得特征根为 对应齐次方程通解为. 3分 设非齐次方程的特解形式为，代入原方程得 6分 由得，故所求曲线方程为 8分