2007全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题.docVIP

2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当时，有；； 利用排除法知应选(B). (2) 函数在上的第一类间断点是x = (A) 0. (B) 1. (C) . (D) .　 [ A ] 【分析】 本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。 【详解】 f(x)在上的无定义点，即间断点为x =0,1, 又 ， ， 可见x=0为第一类间断点，因此应选(A). (3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是 (A) . (B) . (C) . (D) .　 [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：， F(3)是两个半圆面积之差：=， 因此应选(C). (4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是 (A) 若存在，则f(0)=0. (B) 若存在，则f(0)=0. (C) 若存在，则存在. (D) 若存在，则存在 [ D ] 【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。 【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若存在，则，可见(C)也正确，故应选(D). 事实上，可举反例：在x=0处连续，且 =存在，但在x=0处不可导. (5) 曲线，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为，所以为垂直渐近线； 又 ，所以y=0为水平渐近线； 进一步，=， = =， 于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D). (6) 设函数f (x)在上具有二阶导数，且 令, 则下列结论正确的是 (A) 若，则必收敛. (B) 若，则必发散. (C) 若，则必收敛. (D) 若，则必发散.　 [ D ] 【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。 【详解】 设f(x)=, 则f (x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(C); 设f(x)=, 则f(x)在上具有二阶导数，且，但收敛，排除(B); 又若设，则f(x)在上具有二阶导数，且，但发散，排除(A). 故应选(D). (7) 二元函数f(x, y)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A) . (B) ，且. (C). (D) ，且.　 [ C ] 【详解】 选项(A)相当于已知f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数存在，因此(A),(B)均不能保证f(x, y)在点(0，0)处可微。 选项(D)相当于已知两个一阶偏导数存在，但不能推导出两个一阶偏导函数在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x, y)在点(0，0) 处可微。 若，则 ，即同理有 从而 = =0 根据可微的定义，知函数f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(C). (8) 设函数f(x, y)连续，则二次积分等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。 【详解】 积分区域 D: , 也可表示为 D: , 故 =，应选(B). (9) 设向量组线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ A ] 【详解】 用定义进行判定:令 ， 得