2019版高考数学一轮复习第8章立体几何6第6讲空间向量及其运算教案理.pdf

（通用版）2019 版高考数学一轮复习 第 8 章 立体几何 6 第 6 讲 空间向量及其运算教案 理 第 6 讲 空间向量及其运算 1．空间向量的有关定理 （1) 共线向量定理 : 对空间任意两个向量 a ，b （b≠0 ）， a∥b 的充要条件是存在唯一的实数 λ，使得 a＝ λb． （2) 共面向量定理：如果两个向量 a，b 不共线，那么向量 p 与向量 a ，b 共面的充要条件是存 在唯一的有序实数对 ( x ，y ），使 p＝xa ＋yb． （3) 空间向量基本定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实 数组｛ x ，y , z}, 使得 p＝xa ＋yb＋zc ．其中 { a，b，c} 叫做空间的一个基底． 2 ．两个向量的数量积（与平面向量基本相同 ) a b O 错误 ! a 错误 ! b （1) 两向量的夹角：已知两个非零向量 , , 在空间中任取一点 ，作 ＝ , ＝ ，则 ∠ 叫做向量 与 的夹角，记作 , 〉．通常规定 0≤〈 ， 〉≤π．若〈 ， ＝错误 ! ， AOB a b a b a b a b 则称向量 a, b 互相垂直，记作 a⊥b. （2 ）两向量的数量积 两个非零向量 a，b 的数量积 a ·b＝｜ a|| b|cos 〈a, b〉． (3 ）向量的数量积的性质 a e a a e e ① · ＝｜ |cos 〈 ， 〉( 其中 为单位向量 ) ； ② a⊥b? a ·b＝0； 2 2 ③｜ a ｜＝a ·a＝a ; ④ | a ·b| ≤｜ a|| b ｜. (4 ）向量的数量积满足如下运算律 ① ( λa）· b＝ λ( a ·b）; ② a ·b＝b ·a( 交换律）； ③ a ·(b＋c ）＝ a ·b＋a ·c ( 分配律 ) ． 3 ．空间向量的坐标运算 （1）设 a ＝( a1 ，a2 ，a3 ）， b＝( b1 ，b2 ，b3 ）． a ＋b＝( a1 ＋b1 ，a2 ＋b2 ，a3 ＋b3 ）， 1 1 2 2 3 3 a －b＝( a －b ，a －b ，a －b ）， λa＝（ λa1 ， λa2 ， λa3) ，a ·b＝a1b1＋a2 b2 ＋a3 b3 ， 1 （通用版）2019 版高考数学一轮复习 第 8 章 立体几何 6 第 6 讲 空间向量及其运算教案 理 1 1 2 2 3 3 a ⊥b? a b ＋a b ＋a b ＝0， a ∥b? a1 ＝ λb1, a2 ＝ λb2 ，a3 ＝ λb3 ( λ∈R), cos ， 〉＝ 错误 ! ＝错误 ! . a b 1 1 1 2 2 2 (2) 设 A( x ，y ，z ) ，B( x ，y ，z ）, 则错误 ! ＝错误 ! －错误 ! ＝( x2 －x1 ，y2 －y1 ，z2 －z 1 ）． 4 ．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1 ）直线的方向向量 : l 是空间一直线， A， B 是直线 l 上任意两点，则称 错误 ! 为直线 l 的方向 向量 , 与错误 ! 平行的任意非零向量也是直线 l