15课时自招集训班讲义S.pdf

自主招生课程 数学集训班讲义 1 / 233 第一讲 数列与极限 在自主招生中，数列所占分值较多，是非常重要的一块内容。不同学校的自主招生题对数列的考查，容易者基本 相当于高考难度，而较难的，则基本与全国联赛水平持平。其中考查点有： 1. 等差等比数列的基本性质 （多为综合题型，华约等还常将等差数列的考查和三角、数论等的知识点相结合） 2. 一些数列的求和方法 3. 求极限方法 （通常是和其他知识点如求通项、数列不等式等一起考查） 4. 对数列递推式的考察是在数列的题中最多的。而且对递推式的考察还会融合组合、概率、几何等知识点。 知识梳理 一． 等差数列与等比数列 A.等差与等比数列的通项公式 B.等差与等比数列的前 n 项和公式       C. a 等差， b 等比，数列 a b 的求和（错位相减法） n n n n 二．数列求和的方法 1. 直接法 2. 公式法 关于连续自然数的幂和公式： 如何得到以上两个公式？     a 等差, b 等比,求a b a b  a b 的和. 3. 错位相减法：比如 n n 1 1 2 2 n n 4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 1 1 1 1 1 1 1  (  ) 常 见 拆 项 公 式 ： n(n  1) n n  1 ； n(n  2) 2 n n  2 1 1 1 1 (  ) (2n 1)(2n  1) 2 2n 1 2n  1 ， n n! (n 1)!n! 5. 分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 2 2 2 2 2 2 6. 合并求和法：如求100 99 98 97  2 1 的和。 2 2 2 2 7. 倒序相加法：如求sin 1 sin 2 sin 3  sin 89 的和。 其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等等 三．一些递推数列的通项公式求法 A. 逐项累加法 一般逐差累加类型的题目可以归纳为如下形式： a a  f n 1 1. n1 n   2 / 233 a ka  f n 1 2. n1 n   a a f n 1 a a  f 2 ...  f n f i 对于第一种类型，我们将他变形为 n1 n   ，累加后： n 1     ，相当于   数列 求前 n 项和。实际上等差数列就是当f n d 的情况下的形式。  