“点差法”在解析几何题中的应用.pdf

“点差法”在解析几何题中的应用 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个 端点坐标分别为 x , y 、x , y ，代入圆锥曲线得两方程后相减， 得到弦中点坐标与弦所在直线斜 1 1 2 2 率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率 . 本文 列举数例，以供参考 . 1 求弦中点的轨迹方程 2 x 2 例 1 已知椭圆 y 1 ，求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程 . 2 解 设弦的两个端点分别为 P x , y , Q x , y ， PQ 的中点为 M x, y . 1 1 2 2 2 2 x1 2 x2 2 则 y1 1，（1） y2 1，（2 ） 2 2 2 2 x1 x2 2 2 x1 x2 y1 y2 1 2 得： y1 y2 0 ， y1 y2 0 . 2 2 x1 x2 y1 y2 又 x1 x2 2x , y1 y2 2y , 2 ， x 4 y 0 . x1 x2 Q 弦中点轨迹在已知椭圆内， 所求弦中点的轨迹方程为 x 4 y 0 （在已知椭圆内） . 2 例 2 直线 l : ax y a 5 0 （a 是参数）与抛物线 f : y x 1 的相交弦是 AB ，则弦 AB 的中点轨迹方程是 . 解 设 A x , y 、B x , y ， AB 中点 M x, y ，则 x x 2x . 1 1 2 2 1 2 y 5 Q l : a x 1 y 5 0 ， l 过定点 N 1, 5 ， kAB kMN . x 1