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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1987 年数学试题参考解答
1987 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答
数 学（试卷Ⅰ）
一、填空题（每小题3 分，满分15 分. 只写答案不写解题过程）
x 1
(1) 与两直线 及 x 1 y 2 z 1 都平行，且过原点的平面方程是
y 1t 1 2 1
z 2 t
x y 5 0
(2) 当x 1/ ln 2 ；时，函数y x 2x 取得极小值.
(3) 由y ln x 与两直线y (e 1) x 及y 0 围成图形的面积= 3 / 2
(4) 设 L 为取正向的圆周x2 y 2 9 ，则曲线积分(2xy 2y )dx (x 2 4x)dy 的值是
L
18 .
(5) 已知三维线性空间的一组基底 ( 1, 1,0) , ( 1,0,1) , ( 0, 1, 1) ，则向量
1 2 3
＝( 2 , 0 , 0 ) 在上述基底下的坐标是 ( 1 , 1 , -1 )
二、（本题满分8 分）
2
1 x t
b lim dt 1
求正的常数 与 ，使式 成立.
a x 0 bx sin x 0 a t 2
解：假若b 1，则根据洛必达法则有
2 2
1 x t 1 x
lim 0 2 dt lim( 2 ) 0 1 ，与题设矛盾，于是b 1.
x 0 bx sin x a t x 0 b cos x a x
2 2 2
1 x t 1 x 1 x 2
此时lim 0 2 dt lim( 2 ) lim( 1 2 2 ) ，
x 0 bx sin x a t x 0 1cos x a x x 0 2 x a x a
2
即1 ，因此a 4 .
a
三、（本题满分7 分）
u v
(1) 设函数f ,g 连续可微，u f (x, xy), v g (x xy) ，求 , .
x x
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