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郝海龙：考研数学复习大全 ·配套光盘 ·1988 年数学试题参考解答及评分标准
1988 年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题参考解答及评分标准
数 学（试卷一）
一．(本题满分15 分，每小题5 分)
(x 3)n
(1) 求幂级数 n 的收敛域.
n 1 n 3
(x 3)n1
(n 1) 3n1 n 1 1
解：因lim lim x 3 x 3 , 故 x 3 1即0 x 6 时，
n
n (x 3) n 3(n 1) 3 3
n 3n
幂级数收敛. „„3 分
1
当x 0 时，原级数成为交错级数(1)n ，是收敛的. „„4 分
n 1 n
1
当x 6 时，原级数成为调和级数 ，是发散的. „„5 分
n 1 n
所以，所求的收敛域为0,6.
2
(2) 已知f(x)= e x ,f (x ) =1-x,且 (x) 0.求 (x)并写出它的定义域.
2
解：由e[(x )] 1x ，得 (x) ln(1x) . „„3 分
由ln(1x ) 0 ，得1x 1即x 0 . „„5 分
所以(x) ln(1x) ，其定义域为(,0).
(3)设S 为曲面 2 2 2 的外侧，计算曲面积分 3 3 3 .
x y z 1 I x dydzy dxdxz dxdy
s
解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有
2 2 2 S
I 3(x y z )dv （其中 是由 所围成的区域） „„2 分
2 1
3 d d r2 r2 sindr „„4 分
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