2003全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题.docVIP

2003年考研数学（二）真题评注 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） 若时， 与是等价无穷小，则a= . （2） 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . （3） 的麦克劳林公式中项的系数是 . （4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 . （5） 设为3维列向量，是的转置. 若，则 = . （6） 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则 . 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设均为非负数列，且,,,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ] （2）设, 则极限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （3）已知是微分方程的解，则的表达式为 （A） (B) (C) (D) [ ] （4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O x （5）设,, 则 (A) (B) (C) (D) [ ] （6）设向量组 = 1 \* ROMAN I：可由向量组 = 2 \* ROMAN II：线性表示，则 (A) 当时，向量组 = 2 \* ROMAN II必线性相关. (B) 当时，向量组 = 2 \* ROMAN II必线性相关. (C) 当时，向量组 = 1 \* ROMAN I必线性相关. (D) 当时，向量组 = 1 \* ROMAN I必线性相关. [ ] 三 、（本题满分10分） 设函数 问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 四 、（本题满分9分） 设函数y=y(x)由参数方程所确定，求 五 、（本题满分9分） 计算不定积分 六 、（本题满分12分） 设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数. (1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解. 七 、（本题满分12分） 讨论曲线与的交点个数. 八 、（本题满分12分） 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分. 求曲线 y=f(x)的方程； 已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s. 九 、（本题满分10分） 有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时， 液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）. 根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式； 求曲线的方程. (注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.) 十 、（本题满分10分） 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且 若极限存在，证明： 在(a,b)内f(x)0; 在(a,b)内存在点，使 ； (3) 在(a,b) 内存在与(2)中相异的点，使 十 一、（本题满分10分） 若矩阵相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使 十二 、（本题满分8分）