2009全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及答案解析.docVIP

2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1) 函数的可去间断点的个数为 1 2 3 无穷多个 【答案】 【解析】由于,则当取任何整数时,均无意义. 故的间断点有无穷多个,但可去间断点为极限存在的点,故应是的解 . 故可去间断点为3个,即. (2) 当时,与是等价无穷小,则 【答案】 【解析】 ,故排除. 另外,存在,蕴含了,故排除. 所以本题选. (3) 设函数的全微分为,则点 不是的连续点 不是的极值点 是的极大值点 是的极小值点 【答案】 【解析】因可得. , 又在处,,, 故为函数的一个极小值点. (4) 设函数连续,则 【答案】 【解析】的积分区域为两部分： ,, 将其写成一块, 故二重积分可以表示为,故答案为. (5) 若不变号,且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间内 有极值点,无零点 无极值点,有零点 有极值点,有零点 无极值点,无零点 【答案】 【解析】由题意可知,是一个凸函数,即,且在点处的曲率 ,而,由此可得,. 在上,,即单调减少,没有极值点. 对于,(拉格朗日中值定理) 而,由零点定理知,在上,有零点.故应选. （6）设函数在区间上的图形为： SHAPE 则函数的图形为 【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征： ①时，，且单调递减。 ②时，单调递增。 ③时，为常函数。 ④时，为线性函数，单调递增。 ⑤由于F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为。 （7）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . 【答案】 B 【解析】根据若 分块矩阵的行列式即分块矩阵可逆 （8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若，则 为 . . . . 【答案】 A 【解析】，即： 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线在处的切线方程为 【答案】 【解析】 所以 所以 切线方程为 （10）已知,则 【答案】 【解析】 因为极限存在所以 （11） 【答案】0 【解析】令 所以 即 （12）设是由方程确定的隐函数，则 【答案】 【解析】对方程两边关于求导有，得 对再次求导可得， 得 当时，，，代入得 （13）函数在区间上的最小值为 【答案】 【解析】因为，令得驻点为。 又，得， 故为的极小值点，此时， 又当时，；时，，故在上递减，在上递增。 而，， 所以在区间上的最小值为。 (14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 【答案】 【解析】因为相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值是，而是一个常数，是矩阵的对角元素之和，则。 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限 【解析】 （16）（本题满分10 分） 计算不定积分 【解析】方法一：令得 方法二： 即 （17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与 【解析】 （18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。 【解析】微分方程得其通解为任意常数 令，则，微分方程变形为 得到其中为任意常数 即得到其中为任意常数 又因为通过原点时与直线及围成平面区域的面积为2，于是可得 从而 于是，所求非负函数 又由可得，在第一象限曲线表示为 于是D围绕轴旋转所得旋转体的体积为，其中 （19）（本题满分10分） 求二重积分，其中。 【解析】由得， （20）（本题满分12分） 设是