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函数与多伽马函数 定义 函数可以通过 欧拉 （Euler ）第二类积分定义： 对复数 ，我们要求 。 Γ 函 数 还 可 以 通 过 对 做 泰 勒 展 开 ， 解 析 延 拓 到 整 个 复 平 面 ： 这样定义的 Γ函数在全平面除了 以外的地方解析。 Γ函数也可以用无穷乘积的方式表示： 这样定义的 Γ函数在全平面解析 [编辑 ] 无穷乘积 函数可以用无穷乘积表示： 其中 是欧拉 - 马歇罗尼常数 。 [编辑 ] Gamma 积分 [编辑 ] 递推公式 函数的递推公式为： ， 对于正整数 ，有 ， 可以说 函数是 阶乘 的推广。 [编辑] 递推公式的推导 我们用 分部积分法 来计算这个积分： 当 时， 。当 趋于无穷大时，根据 洛必达法则 ，有： . 因此第一项 变成了零，所以： 等式的右面正好是 。因此， 递推公式 为： 。 [编辑 ] 重要性质 Γ函数在实轴上的函数图形 当 时， 欧拉反射公式： 由此可知当 时， 。 乘法定理： 。 。 补充： 此式可用来协助计算 t 分布概率密度函数、 卡方分布概率密 度函数、 分布概率密度函数等的累计概率。 [编辑 ] 特殊值 [编辑 ] 导数 [编辑 ] 复数值 [编辑 ] 斯特灵公式 斯特灵公式 能用以估计 Γ函数的增长速度。 [编辑 ] 解析延拓 Γ函数的绝对值函数图形 注意到在 Γ函数的积分定义中若取 为实部大于零之 复数 、则积分存在， 而且在右半复平面 上定义一个 全纯函数 。利用函数方程 并注意到函数 在整个复平面上有解析延拓，我们可以在 时设 从而将 函数延拓为整个复平面上的 亚纯函数 ，它在 有单 极点 ，留数为 多伽玛函数 维基百科，自由的百科全书 跳转至： 导航 ， 有哪些信誉好的足球投注网站 阶多伽玛函数 是伽玛函数 的第 个 对数导数 。 在这里 是双伽玛函数 ， 是伽玛函数。函数 有时称为 三伽玛函数 。 伽 玛 函 数 的 对数， 以及最 初 几 个 多 伽 玛 函 数 积分表示法 多伽玛函数可以表示为： 当 Re z 0和 m 0 时成立。对于 m = 0 ，参见 双伽玛函数 的定义。 [编辑 ] 递推关系 多伽玛函数具有以下的 递推关系 ： [编辑 ] 乘法定理 乘法定理 给出： 其中 。对于 ，则是 双伽玛函数 ： [编辑 ] 级数表示法 多伽玛函数有以下的级数表示法： 对 m 0 和任何不等于负数的复数 z 都成立。还可以用 赫尔维茨 ζ函数 来表示： [编辑 ] 泰勒级数 z = 1 时，泰勒级数为： 当|z| 1 时收敛。在这里，