课件ch41线性空间的概念m.pptx

第 四 章 线 性 空 间线 性 空 间 的 定 义线性空间的定义线性空间的子空间小结线性空间的定义　线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．　线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题．如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么 就称为数域 上的向量空间（或线性空间）．其中的元素也称为向量。定义 设Ｖ是一个非空集合，Ｒ为实数域．如果对于任 意两个元素? ? ∈Ｖ，总有唯一的一个元素 ?∈Ｖ与之对应，称为? 与? 的和，记作若对于任一数 ?∈Ｒ与任一元素? ∈Ｖ，总有唯一的一个元素 ? ∈Ｖ与之对应，称为?与? 的数乘，记作说明　1． 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算．　2 ．向量空间中的向量不一定是有序数组．　3 ．判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间． 例 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ．线性空间的判定方法(1) 一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性．通常意义下的加法与数乘 8 条运算规律显然满足例 次数不超过n 的多项式的全体，记作 ，即对于通常的多项式的加法，数与多项式的乘法构成的数乘运算 构成线性空间。　通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．例n次多项式的全体，即对于通常的多项式的加法，数与多项式的乘法构成的数乘运算 不构成线性空间。例在区间 上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性空间．例 正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．是一个线性空间.例 以 实矩阵 为系数矩阵的非齐次 线性方 程组AX=b 的解向量的全体 所组成的 集合是否构成 线性空间？ 例 以 实矩阵 为系数矩阵的齐次 线性方 程组AX=0的解向量的全体 所组成 的集合是否构成线性空间 ？解 该集合有兴趣的同学自修例* 正实数的全体，记作,在其中定义加法 及数乘运算为 验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间．（２）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．证明所以对定义的加法与数乘运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：所以 对所定义的运算构成线性空间．例* 个有序实数组成的数组的全体对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘不构成线性空间．定义 　设 是一个线性空间， 是 的一个非空子集，如果 对于 中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称 为 的子空间．定理　线性空间 的非空子集 构成子空间的充分必要条件是： 对于 中的线性运算封闭．线性空间的子空间例即 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.因为对解(1) 不构成子空间.有（2）对任意有于是满足且　线性空间是二维、三维几何空间及 维向量空间的推广，它在理论上具有高度的概括性.是一个集合如同n维向量一样我们可讨论向量的线性相关性等概念小结　线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间对所定义的加法及数乘运算封闭所定义的加法及数乘符合线性运算作业：习题四3(1,2), 4(4,5),5(3,5)