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华中科技大学07年 高等代数 401 一、证明 一、假设秩（A）=0，那么A=0，于是对，均有ABA=OBO=0=A，即B不惟一（舍） 二、假设0＜秩（A）= r＜n，那么知足条件的B也是不惟一的，这是因为： 秩（A）= r，于是可逆阵，使，设，那么由ABA=A有 ∴ ∴∴ 其中G、F、H是任意的，即B不是唯一的 3、由一、2可知秩（A）=n ∴，于是存在。在ABA=A中左乘有BA=E，再右乘B，有BAB=EB=B。 二、证明考虑方程组 ……（※） 结合条件知上述方程组有解（非零） 这说明直线是相交的，而且（※）有非零解的充要条件的系数行列式。即 ∴或这与“是三条不同的直线”矛盾。故有。 三、1）验证欧氏空间的概念 ①对称性，由sylvester公式 （其中） 当m =n时，有相似于BA ∴ ②线性性，显然 ③非负性，∵A为实对称阵 ∴为半正定阵，故（为的特点值） ∴（A，A）= 当且仅当A=0时，=AA的主对角元全数为零，现在，故V是一欧氏空间。 （2）∵V是实数域上的对称阵组成的欧氏空间， ∴ 显然为v的一组基 ∴ 由于是V的知足一个约束条件的子空间 ∴ （3）∵ ∴ ∴ 四、∵A为可逆实矩阵 ∴为正定阵，因此存在正交阵T， 使 ∴ 令 那么上式即为 ∴为正交阵 记，那么Q为正交阵，S为正定阵，且 六、① 那么 即 又 ∴ 这表明 ② 那么 又∵ ∴使 于是 其中 于是 ∴ 同理可证 这说明 结合①所证结果知 …………（※） 又，那么 于是 这说明 ，结合（※）知 七、证明：利用矩阵的分块乘法有 ∴秩(A3)+秩(A)=秩 八、证明：①由条件知A有零化多项式 又 ∴A与对角矩阵相似 ②在给定条件式左乘A，右乘B，并注意到，那么有 与条件式相减有同①可知B也能够对角化。 九、证：∵ ∴即 ∴A2=0 十、证：易用数学归纳法证得………① 设B的特证多项式为 那么 ∵①式对成立，取，再别离在这n个。式子的左右同乘， 并注意到，将上述n+1个式子相加有 于是 同理有 这说明存在如此的m值使得