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戴氏教育 精品讲义 王老师
圆综合复习
一、本章知识框架
二、本章重点
1．圆的定义：
(1) 线段 OA绕着它的一个端点 O旋转一周， 另一个端点 A 所形成的封闭曲线， 叫
做圆．
(2) 圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2 ．判定一个点 P是否在⊙ O上．
设⊙ O的半径为 R，OP＝d，则有
dr 点 P在⊙ O 外；
d ＝r 点 P在⊙ O 上；
dr 点 P在⊙ O 内．
3．与圆有关的角
(1) 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
(2) 圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．
圆周角的性质：
①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．
②同弧或等弧所对的圆周角相等； 在同圆或等圆中， 相等的圆周角所对的弧相等．
③ 90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．
④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角．
(3) 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．
弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．
弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．
4 ．圆的性质：
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戴氏教育 精品讲义 王老师
(1) 旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；
圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任
意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．
(2) 轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．
垂径定理及推论：
(1) 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
(2) 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
(3) 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．
(4) 平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．
(5) 平行弦夹的弧相等．
5．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，
在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“ I ”表示．
(2) 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐
角三角形外心在三角形内部， 直角三角形的外心是斜边中点， 钝角三角形外心在
三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O表示．
(3) 三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是
到对边中点距离的 2 倍，通常用 G表示．
(4) 垂心：是三角形三边高线的交点．
6 ．切线的判定、性质：
(1) 切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
②到圆心的距离 d 等于圆的半径的直线是圆的切线．
(2) 切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径．
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．
③经过切点作切线的垂线经过圆心．
(3) 切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线
长．
(4) 切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆
心的连线平分两条切线的夹角．
7．圆内接四边形和外切四边形
(1) 四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角
等于内对角．
(2) 各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．
8．直线和圆的位置关系：
设⊙ O 半径为 R，点 O到直线 l 的距离为 d ．
(1) 直线和圆没有公共点 直线和圆相离 dR．
(2) 直线和⊙ O有唯一公共点 直线 l 和⊙
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