初三数学中考模型之费马点问题(含答案).pdf

费马点的问题 定 义：数学上称，到三角形 3 个顶点距离之和最小的点为费马点。它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于 120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果 3 个内角均小于 120°，则在三角形内部对 3 边张角均为 120°的点，是三角形的费马点。 3. 费马点与 3 个顶点连成的线段是沟通 3 点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。我们称这 一结果为最短路线原理。 性质：费马点有如下主要性质： 1． 费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2 ． 费马点连接三顶点所成的三夹角皆为 120°。 3 ． 费马点为三角形中能量最低点。 4 ． 三力平衡时三力夹角皆为 120°，所以费马点是三力平衡的点。 例 1：已知：△ ABH 是等边三角形。 求证： GA+GB+GH 最小 证明：∵ △ABH 是等边三角形。 G 是其重心。 ∴ ∠AGH= ∠AGB= ∠BGH=120 °。 以 HB 为边向右上方作等边三角形△ DBH. 以 HG 为边向右上方作等边三角形△ GHP. ∵ AH=BH=AB=12. ∴ ∠AGH=120 °， ∠HGP=60 °. ∴ A 、G、P 三点一线。 再连 PD 两点。 ∵ △ABH 、△ GHP 和△ BDH 都是等边三角形，∠ GHB=30 °. ∴ ∠PHD=30 °， . 在△ HGB 和△ HPD 中 ∵ HG=HP ∠GHB= ∠ PHD ； HB=HD ； ∴ △HGB ≌△ HPD ； （SAS ） ∴ ∠HPD= ∠HGB=120 °； ∵ ∠HPG=60 ° . ∴ G、P、D 三点一线。 ∴ AG=GP=PD ，且同在一条直线上。 ∵ GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G 点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。也就是重心。 例 2：已知：△ ABC 是等腰三角形， G 是三角形内一点。∠ AGC= ∠AGB= ∠ BGC=120 °。 求证： GA+GB+GC 最小 证明：将△ BGC 逆时针旋转 60 °，连 GP，DB. 则 △ HGB ≌△ HPD ； ∴ ∠CPD= ∠CGB=120 °， CG=CP ，GB=PD ， BC=DC ，∠ GCB= ∠PCD. ∵ ∠GCP=60 °， ∴ ∠BCD=60 °， ∴ △ GCP 和△ BCD 都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120 °， ∠CGP=60 °. ∴ A 、G、P 三点一线。 第 1页/共 6页 ∵ ∠CPD=120 °， ∠CPG=60 °. ∴ G 、P、D 三点一线。 ∴ AG 、GP、 PD 三条线段同在一条直线上。 ∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。 但它不同于等边三角形的费马点是重心。 例 3：已知：△ ABC 是锐角三角形， G 是三角形内一点。∠ AGC= ∠AGB= ∠ BGC=120 °。 求证： GA+GB+GC 最小 证明：将△ BGC 逆时针旋转 60 °，连 GP，DB. 则 △CGB ≌△ CPD ； ∴ ∠CPD= ∠CGB=120 °， CG=CP ，GB=PD ， BC=DC ，∠ GCB= ∠PCD. ∵ ∠GCP=60 °， ∴ ∠BCD=60 °， ∴ △ GCP 和△ BCD 都是等边三角形。 ∵ ∠AGC=120 °， ∠CGP=60 °. ∴ A 、G、P 三点一线。 ∵ ∠CPD=12