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函数与方程—讲义 函数与方程—讲义 PAGE第 PAGE 6页 共 NUMPAGES 6页 函数与方程 函数与方程—讲义 函数与方程 一．【目标要求】 ①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， ②判断一元二次方程根的存在性及根的个数． ③会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性. 二．【基础知识】 1．函数零点的概念： 对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程有实数根函数的图象与有点函数有零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数在区间上的图像是一条连续不断的曲线，并且有 ，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 注：若恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若在处其函数值为0，即，则称为函数的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。 ②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。 ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。 （3）一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看，函数的零点，就是它图像与交点的横坐标。 （4）更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与的图像交点的横坐标。 2.函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 代数法：函数的零点的根 几何法：有些不容易直接求出的函数的零点或方程的根，可利用 的图像和性质找出零点。画 注意二次函数的零点个数问题 有2个零点有两个不等实根 有1个零点有两个相等实根 无零点无实根 对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定 对于函数的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。 3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。 为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数， （1）恒成立，恒成立 （2）的解集为R 的解集为R （3）对于二次函数在区间上的最值问题，参照第（1）和（2）节 3.构造函数解不等式恒成立的问题 （1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。 （2）恒成立，恒成立（注意等号是否成立） （3）有解，有解 （4）在区间上恒成立在上大于0 四．【例题精讲】 考点一、函数的零点 例1.判断函数在区间上零点的个数， 例2.若函数有一个零点为2，那么的零点是 。 例3.设在上的增函数，且，则方程在区间内有 个实数根。 【举一反三】 1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点. （1） （2） （3） （4） 考点二：二次函数的零点 例4.是否存在这样的实数，使函数在区间上与轴恒有一个零点，且只有一个零点，若存在，求出范围，若不存在，说明理由。 考点三、方程的根与函数的零点 例5.已知二次函数 （1）若，试证明必有两个零点； （2）若对,,方程有两个不等实根，证明必有一个实根属于 【举一反三】 2. 分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程的一个根介于之间。 【练习】 函数的零点有 个。 是定义在R上的以3为周期的偶函数，且，则方程在区间内解的个数是 。 已知函数，则当方程有三个根时，实数的取值范围是 。 函数在区间上有三个零点，求的取值范围。 设，函数有最小值，则不等式的解集为 。 函数的图像关于直线对称，据此可推测，对任意的非零实数关于的方程的解集不可能是下列表达式中的哪一个 。 ① ② ③ ④ 若函数有两个零点，则实数的取值范围是 。 已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则 。 已知函数，实数是函数的一个 零点，给出下列四个命题：① ② ③ ④ 其中可能成立的是 。 设函数，则下列命题中说法正确的是 ①当时，函数在R上是单调增函数 ②当时，函数在R上有最小值 ③函数的图