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2019年全国高中数学联赛A卷真题word版
2019年全国高中数学联赛A卷真题word版
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2019年全国高中数学联赛A卷真题word版
2019年全国高中数学联赛A卷
一试
一、填空题
1. 已知正实数满足，则的值为__________.
2. 若实数集合的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则的值为____.
3. 平面直角坐标系中，是单位向量，向量满足，且对任意实数成立，则的取值范围是__________.
4. 设，为椭圆的长轴顶点，，为椭圆的两个焦点，，，为上一点，满足，则的的面积为 .
5. 在中随机选出一个数，在中随机选出一个数，则被整除的概率为__________.
6. 对任意闭区间，用表示函数在上的最大值，若正数满足，则的值为__________.
7. 如图，正方体的一个截面经过点、及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为__________.
8. 将个数，，，，，按任意次序排成一行，拼成一个8位数
（首位不为），则产生的不同的8位数的个数为__________.
二、解答题
9. 在中，，，，若是与的等比中项，且是与的等差中项，求的值.
10. 在平面直角坐标系中，圆与抛物线：恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点，求圆的半径.
11. 称一个复数数列为“有趣的”，若且对任意正整数，均有，求最大的常数，使得对一切有趣的数列及任意正整数，均有 .
2019年全国高中数学联赛A卷
二试
一、如图，在锐角中，是边的中点.
点在内，使得平分.直线
与，的外接圆分别相交于不同于点
的两点.
求证：若，则.
二、设整数满足，
记，
求的最小值，并确定使成立的数组的个数.
三、设为整数，，整数数列满足：不全为零，且对任意正整数，
均有.
求证：若存在整数使得，则.
四、设是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面.某些点之间连有线段，记为这些线段构成的集合.试求最小的正整数，满足条件：若至少有个元素，则一定含有个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交集为空集.
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