14.C专题-构造三角形中位线.docVIP

专题-构造三角形中位线 专题-构造三角形中位线 PAGE 专题-构造三角形中位线 专题 构造三角形中位线 【方法归纳】中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一. 一、连接两点构造三角形中位线 1.如图，E、F、G、H分别为四边形ABCD的四边中点，试判断四边形EFGH的形状并予以证明. 【解析】：四边形EFGH为平行四边形. 2.如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且AE＝BF，BE交AF于M，CE交DF于N，求证：. 【解析】：连EF，证平行四边形ABEF和平行四边形EFCD，∴EM＝BM，EN＝CN. 3.如图，点是P四边形ABCD的对角线的中点，E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝450，∠ADB＝1050，探究EF与PF之间的数量关系，并证明. 【解析】：连PE，证PE＝PF，∠EPF＝1200，∴EF＝PF. 4.如图，点B为AC上一点，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，点P、M、N分别为AC、AD、CE的中点. ⑴求证：PM＝PN；⑵求∠MPN的度数. 【解析】：⑴连AE，CD，证PMCD，PNAE，证△ABE≌△BDC，AE＝CD，∴PM＝PN. ⑵设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，由⑴知∠BAE＝∠BDC，∠ADH＝∠ABD＝600，∠FHG＝1200，易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝1200. 二、利用角平分线＋垂直构造中位线 5.如图三角形ABC中，点M为BC的中点，AD为三角形ABC的外角平分线，且AD⊥BD，若AB＝12，AC＝18，求MD的长. 【解析】：延长BD，CA交于N，证DN＝DB，MD＝CN＝15. 6.如图，三角形ABC中，AB＝BC，∠ABC＝900，F为BC上的一点，M为AF的中点，BE平分∠ABC，且EF⊥BE，求证：CF＝2ME. 【解析】：延长FE交AB于N，证EF＝EN，CF＝AN，∵AN＝2ME，∴CF＝2ME. 三、倍长构造三角形中位线 7.如图，三角形ABC中，∠ABC＝900，BA＝BC，三角形BEF为等腰直角三角形，∠BEF＝900，M为AF的中点，求证：ME＝CF. 【解析】：延长EF至N，使EN＝EF，连BN，AN，证ME＝AN，证△BCF≌△BAN，∴CF＝AN＝2ME. 四、取中点构造三角形中位线 8.如图，四边形ABCD中，M、N分别为AD、BC的中点，连BD，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围. 【解析】：取BD的中点P，连PM，PN，∵PM＝AB＝5，PN＝CD＝4，∴1＜MN＜9. 9.如图，三角形ABC中，∠ C＝900，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点，求证：AE＝MN. 【解析】：取AB的中点H，连MH，NH，则MH＝BF，NH＝AH， ∵AE＝BF，∴MH＝NH，易证∠MHN＝900，∴AE＝2NH＝2·MN＝MN. 10.如图，点P为三角形ABC的边BC的中点，分别以AB、AC为斜边作直角三角形ABD和直角三角形ACE，且∠BAD＝∠CAE，求证：PD＝PE. 【解析】：分别取AB、AC的中点M、N，证DM＝PN， PM＝EN，∠DMP＝∠ENP，△PMD≌△ENP即可.