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2000年哈尔滨工业大学量子力学试题 2000年哈尔滨工业大学量子力学试题 PAGE 2000年哈尔滨工业大学量子力学试题 2000年量子力学考研试题 一. 质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态上，求其动量与动能的取值几率分布及平均值。 解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为 显然，两者相互对易，有共同完整本征函数 且满足 将向展开，即 展开系数 只有当时，。利用归一化条件 可知，归一化常数为 于是有 动量的取值几率为 平均值为 动能的的取值几率与动量相同，而平均值为 质量为的粒子处于如下一维势阱中 若已知该粒子在此势阱中存在一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。 解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为 其中， 由处，，可知。 由处，，可知，即，取。 于是，波函数简化为 在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有 此即能量满足的超越方程。 当时，由于 故 ， 最后，得到势阱的宽度 三. （见习题选讲）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢和构成的，以其为基矢地两个算符和的矩阵形式如下 其中，为实常数。证明算符和是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。 解：由厄米特算符的定义知，厄米特算符满足 或者 题中所给出的哈密顿算符和力学量算符皆为实对称矩阵，故它们都是厄米特算符。 因为 而 所以，有 设满足的本征方程为 由于是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即 其中，，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符不能惟一确定的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。 当时，波函数满足 显然， 于是，相应的波函数为 当时，波函数满足 得到 相应的波函数为 同理可知，的波函数为 利用归一化条件可知 利用正交条件可知 由于头两个正交条件给不出任何信息，所以，五个变量满足四个方程，不能惟一的定出这五个常数。 当时，由（15）式可知，于是，波函数为 进而得到 上式说明也是算符的本征函数，对应的本征值为。由此看来，是算符与的共同本征函数，对应的本征值分别为和。 当时，波函数无法惟一确定，它们的矩阵形式是一样的，为简洁计，统一记为 用算符作用上式，得到本征值满足的本征方程 在简并子空间中，久期方程为 得到的另外两个本征值，分别记为 当时，将其代入本征方程，有 得到 由归一化条件知 进而，得到 将其代入表达式，有 当时，重复上面的求解过程，可以得到 综上所述，算符与的本征值都是二度简并的，本征函数皆不能惟一确定，但因为它们相互对易，所以有共同完备本征函数系，它们的共同本征函数是惟