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人教版高中数学必修1《函数的单调性》教案
人教版高中数学必修1《函数的单调性》教案
PAGE
人教版高中数学必修1《函数的单调性》教案
课 题:函数的单调性(教案)
教材:人教版普通高中课程标准实验教科书 必修1第一章
【教学目标】
1、知识与技能:
(1)建立增(减)函数的概念
通过观察一些函数图象的升降,形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数的定义,掌握用定义证明函数单调性的基本方法与步骤。
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,从图型语言到数学语言,理解增函数、减函数区间概念的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与方法
(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
3、情态与价值:渗透从直观到抽象,从特殊到一般的数学思想,激发学生学习兴趣,培养学生不断发现、探索新知的精神,让学生感受数学思想方法的魅力。
【教学重点】 形成增(减)函数的形式化定义
【教学难点】用定义证明函数的单调性
【教学方法与手段】
1、教法与学法:主要采取的教学方法是教师启发引导,学生探究学习的教学方法。从观察具体函数图象引入,直观认识增减函数,利用定义证明函数单调性。通过练习、交流反馈,巩固从而完成本节课的教学目标。
2、教学用具:多媒体投影、几何画板.
【教学过程】
一、创设情境,引入课题
由于天气的原因,2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日,下图是北京市2008年8月8日
提问:我们可以通过图象来捕捉到一些什么信息?
分析:学生可能会发现以下信息,当天的最高温度与最低温度以及达到的时刻,在某个时刻的温度,某些时段温度升高,某些时段温度降低,等等。
二、探索归纳,形成概念
1、借助图象,直观感知
Oyyxx
O
y
y
x
x
1
2
3
-1
-2
-3
-1
1
2
3
4
5
6
1
2
-1
-2
-3
-1
1
2
3
4
5
O
分析:学生会观察到一次函数的图象从左到右都是上升的,而二次函数的图象在轴的左侧从左到右是下降的,在轴的右侧从左到右是上升的。
问题2:以函数为例,完成下列表格,并思考下列问题。
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
…
思考:(1)观察表格中,自变量的值从0到5变化时,函数值如何变化?
(2)在上,任意改变的值,当时,都有吗?
(3)对于函数,在区间上,随着的增大,相应的如何变化?
分析:教师引导学生完成表格,解决问题,并通过几何画板进行动画演示,帮助学生理解抽象的概念。
问题3:在数学上规定:函数在区间上是增函数,谁能给增函数下个定义?
分析:引导学生讨论、交流,说出各自的想法。学生在下定义的时候可能会出现的情况:没有说明在哪个区间上,没有考虑到是任意取的两个数,还有就是没有考虑到“当时,都有”是否也对。
2、抽象概括,形成概念
(1)增函数的定义:
Oxy一般地,设函数
O
x
y
如果对于定义域I内某个区间D
上的任意两个自变量的值,
当时,都有,
那么就说函数在区间D上是增函数。
分析:在学习增函数的定义时,学生会对“某个区间”“任意两个”等关键词不够重视,教师需要引导学生更好的理解这些关键词。
练习:判断下列说法是否正确
①函数在区间[-5,5]上满足,则函数在区间[-5,5]上是增函数。
②定义在R上的函数满足,则函数是R上的增函数。
分析:对于学生错误的回答,教师要引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举,从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量.
思考:通过判断题,引导学生掌握增函数的定义中要注意的2点
①单调性是对定义域内某个区间而言的,是函数局部的性质;
②研究函数在某个区间上的单调性不能只取两个特殊值,或者无数多个特殊值,必须要取该区间内的任意两个数。
(2)减函数的定义:
一般地,设函数的定义域为I:
Ox
O
x
y
任意两个变量的值,当时,
都有,那么就说函数
在区间D上是减函数。
分析:学生学习了增函数的定义后,通过类比的方法能概括出减函数的定义。
(3)单调区间的定义
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
三、巩固基础,演练提升
1、例题
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?
分析:教师提示利用函数单调性的几何意义,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨
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